Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Các đường kéo dài của $AB$ và $DC$ gặp nhau tại $E$, còn các đường kéo dài của $AD$ và $BC$ gặp nhau tại $F$. Các đường phân giác của $\angle BEC$ và $\angle DFC$ gặp nhau tại $P$ nằm trên $AC$. Gọi $U$ là giao điểm của $PF$ với $CD$ và $V$ là giao điểm của $PE$ với $BC$. Chứng minh:
(a) $DB$ song song với $UV$.
(b) Hai đường thẳng $AC$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm của $EF$.
Cho dãy $a_1,a_2,a_3,\ldots$ xác định bởi $a_1=33$ và, với $n\ge1$,
$$a_{n+1}=a_n+\frac1{\left\lfloor a_n+\frac12\right\rfloor}.$$
Những số nguyên nào xuất hiện trong dãy?
Trong một bảng $n\times n$, bạn được chọn $k$ ô, gồm cả ô trên cùng bên phải và ô dưới cùng bên trái, rồi tô đỏ chúng. Các ô còn lại được tô xanh. Sau đó bạn được liên tiếp chọn một hàng hoặc cột bất kỳ và đổi màu mọi ô trong hàng hoặc cột ấy sang màu còn lại, cho đến khi tất cả các ô đều đỏ. Giá trị nhỏ nhất của $k$ để làm được điều này là bao nhiêu?
Số $1$ được viết $10$ lần trên bảng. Mỗi phút, Simon chọn hai số ở hai vị trí khác nhau trên bảng là $a,b$ (có thể bằng nhau về giá trị), xóa chúng và viết hai số mới $a+\dfrac1b$ và $b+\dfrac1a$.
(a) Chứng minh rằng bất kể Simon thực hiện các phép biến đổi theo thứ tự nào, sau $1000$ phút sẽ có ít nhất một số trên bảng lớn hơn $20$.
(b) Chứng minh có một thứ tự thực hiện để Simon bảo đảm sau $1000$ phút, mọi số trên bảng đều nhỏ hơn $21$.
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, có thể tìm các số nguyên dương $a_1,a_2,a_3$ thỏa mãn
$$(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1)\equiv n\pmod p.$$