Câu hỏi 1
Xét số nguyên $\overline{30 x 070 y 03}$, trong đó $x,y$ là các chữ số chưa biết. Tìm tất cả các cặp giá trị $x,y$ sao cho số đã cho là bội của $37$.
Ngân hàng câu hỏi SMO 2018
Đề thi
85 câu hỏi
Câu hỏi 2
Trong tam giác $ABC$, $AB=AC=14\sqrt 2$, $D$ là trung điểm của $CA$ và $E$ là trung điểm của $BD$. Giả sử tam giác $CDE$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Tìm độ dài $BD$.
Câu hỏi 3
Một trăm quả bóng được ghi nhãn từ $1$ đến $100$ cần được cho vào hai hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất một bóng, và ước chung lớn nhất của tích các nhãn trong hộp này với tích các nhãn trong hộp kia bằng $1$. Tìm số cách thực hiện.
Câu hỏi 4
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có ít nhất $4$ ước dương sao cho $n$ bằng tổng bình phương của $4$ ước dương nhỏ nhất của nó.
Câu hỏi 5
Cho một số tam giác đều và hình vuông, tất cả đều có cạnh bằng $1$, và yêu cầu ghép các mảnh này thành đa giác lồi có $n$ cạnh. Nếu phải dùng cả hai loại mảnh, hãy tìm các giá trị có thể của $n$, giả sử có đủ số lượng mảnh.
Câu hỏi 1
Xét hình lập phương có cạnh bằng $2$. Gọi $A,B$ là hai đỉnh xa nhau nhất. Dựng một dãy điểm $A_1,A_2,\ldots,A_k$ trên mặt hình lập phương sao cho $A_1=A$, $A_k=B$, và với mọi $i=1,\ldots,k-1$, khoảng cách từ $A_i$ đến $A_{i+1}$ bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.
Câu hỏi 2
Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BOC=90^\circ$ và $\angle BAO=\angle BCO$. Chứng minh rằng $\angle OMN=90^\circ$, trong đó $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$.
Câu hỏi 3
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $m$ sao cho $$2018 m^2+20182017 m+2017$$ chia hết cho $2^n$.
Câu hỏi 4
Mỗi ô của bảng $2\times 2018$ ô vuông được tô đen hoặc trắng sao cho trong mỗi khối $2\times 2$, ít nhất một trong 4 ô có màu trắng. Gọi $P$ là số cách tô bảng. Tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho $P$ chia hết cho $3^k$.
Câu hỏi 5
Xét đa thức $P(x,y,z)$ ba biến với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực $a,b,c$, $$P(a,b,c)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=b=c.$$ Tìm số nguyên lớn nhất $r$ sao cho với mọi đa thức $P(x,y,z)$ như vậy và mọi số nguyên $n,m$, $$m^r\mid P(n,n+m,n+2 m).$$
Câu hỏi 1
Trong năm số $\frac 9{11}$, $\frac{19}{22}$, $\frac{29}{33}$, $\frac{39}{44}$ và $\frac{49}{55}$, số nào có giá trị lớn nhất?
Câu hỏi 2
Tính giá trị của $$\begin{aligned}&\left(\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2018}\right)\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2017}\right)\\&-\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2018}\right)\left(\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2017}\right).\end{aligned}$$
Câu hỏi 3
Cho hình thang vuông $ABCD$ có $AB=BC$, $\angle ABC=\angle BCD=90^\circ$, và điểm $E$ trên $BC$ sao cho $AE=AD$. Nếu $AD=10$ và $BE=6$, hãy tìm độ dài $DE$.
Các lựa chọn gốc: A. $\sqrt 2$; B. $\sqrt 3$; C. $2$; D. $2\sqrt 2$; E. $2\sqrt 3$.
Các lựa chọn gốc: A. $\sqrt 2$; B. $\sqrt 3$; C. $2$; D. $2\sqrt 2$; E. $2\sqrt 3$.
Câu hỏi 4
Trên một hòn đảo lạ chỉ có hai loại cư dân: người nói thật luôn nói thật và người nói dối luôn nói dối. Một hôm, bạn gặp hai cư dân A và B. A nói: “Ít nhất một trong hai chúng tôi là người nói dối.” B im lặng. Khẳng định nào sau đây chắc chắn đúng?
Câu hỏi 5
Giả sử có x thỏa mãn $ax+5=0$ và $-5\lt x\lt 5$. Điều kiện nào sau đây mô tả đầy đủ miền giá trị của a?
Câu hỏi 6
Có 24 bình giống nhau, mỗi bình chứa tối đa 12 lít. Các bình đang chứa nước. Nếu một nửa số bình đầy một nửa, một phần tư số bình đầy một phần tư, một phần sáu số bình đầy một phần sáu và một phần mười hai số bình đầy một phần mười hai, hãy tìm tổng lượng nước trong các bình, tính bằng lít.
Câu hỏi 7
Một bộ bốn số nguyên dương $(a,b,c,d)$ được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng, trung vị và mốt của a,b,c,d bằng nhau. Có bao nhiêu bộ bốn cân bằng thỏa mãn $a\le b\le c\le d$ và $a+b+c+d=44$?
Câu hỏi 8
Trong hình, $ED$ là đường kính của đường tròn. $EC$, $CO$ và $OD$ lần lượt là đường kính của ba nửa đường tròn. Nếu $EC=12$, $CO=4$, $OD=16$ và diện tích phần tô là $k\pi$, hãy tìm k.
Câu hỏi 9
Nếu $m^2-5 m-300=0$, hãy tính $$m^3-325 m+1503.$$
Câu hỏi 10
Trong Vòng 1 của một trò chơi, ba số 2,3 và 5 được viết quanh một đường tròn. Sang Vòng 2, giữa mỗi hai số kề nhau theo đường tròn được viết thêm tổng của chúng. Hình cho các số sau Vòng 1 và Vòng 2. Tìm tổng mọi số viết quanh đường tròn sau Vòng 5. Trong hình, “Round 1” là “Vòng 1” và “Round 2” là “Vòng 2”.
