Trong tam giác nhọn $ABC$, $AC>AB$, $D$ là điểm trên $BC$ sao cho $AD=AB$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc với $AD$ tại $D$, còn $\omega_2$ là đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $B$. Gọi $F\ (\ne C)$ là giao điểm thứ hai của $\omega_1$ và $\omega_2$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên $AC$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại các số nguyên $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ mà mọi số nguyên từ $1000$ đến $2000$ đều viết được thành tổng của một số số trong $x_1,x_2,\ldots,x_n$, không lặp lại số nào.
Cho $p$ là số nguyên tố và $x,y,z$ là các số nguyên thỏa $0\lt x\lt y\lt z\lt p$. Nếu $x^3,y^3,z^3$ có cùng số dư khi chia cho $p$, chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2$ chia hết cho $x+y+z$.
Cho $a_1,a_2,\ldots$ là dãy số dương thỏa, với mọi số nguyên dương $k,l,m,n$ sao cho $k+n=m+l$,
$$\frac{a_k+a_n}{1+a_ka_n}=\frac{a_m+a_l}{1+a_ma_l}.$$
Chứng minh rằng tồn tại các số dương $b,c$ sao cho $b\le a_n\le c$ với mọi số nguyên dương $n$.