SMO 2026 - Senior - Vòng 1

Một con xúc xắc công bằng bốn mặt (ghi $1,2,3,4$) được gieo hai lần, lần lượt cho kết quả $b,c$. Gọi $p$ là xác suất phương trình $x^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Tính $\left\lceil\frac1p\right\rceil$.

Một sợi dây dài $L$ được quấn đều đúng bốn vòng quanh hình trụ có chu vi $5cm$, bắt đầu ở đáy và kết thúc ở đỉnh hình trụ. Hình trụ cao $48cm$. Tính $\lfloor L\rfloor$.

Biết giá trị nhỏ nhất của $(\tan^{-1}x)^{2048}+\left(\tan^{-1}\frac1x\right)^{2048}$ là $\frac{\pi^a}{b}$, trong đó $a,b$ hữu tỉ và $x>0$, hãy tính $\log_2\left(\frac ba\right)$.

Cho dãy hữu hạn số thực $\{a_n\}_{n=1}^{m}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m$ sao cho $\sum_{k=0}^{4}a_{i+k}\lt 0$ và $\sum_{k=0}^{7}a_{j+k}>0$ với mọi số nguyên dương $i,j$.

Tính tổng tất cả các chữ số của các số từ $1$ đến $10^7$, kể cả hai đầu. Ví dụ, tổng các chữ số từ $23$ đến $27$, kể cả hai đầu, là $2+3+2+4+2+5+2+6+2+7$.

Cho dãy số thực $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ thỏa $a_{n-2}+a_n=1+2a_{n-1}$ với $n\ge2$, và $a_0=a_1=1$. Tính $a_{26}$.

Một số hữu tỉ được gọi là vui nếu xóa cùng một chữ số khác không khỏi cả tử và mẫu cho đúng số hữu tỉ như khi rút gọn hợp lệ (không nhất thiết tối giản). Ví dụ,

là số hữu tỉ vui, còn

thì không. Tìm tổng số các số hữu tỉ vui $\frac ab$ với $10\le a\lt b\le99$.

Giả sử $(a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+1})=3$. Tính $|\lfloor b\rfloor|$ khi $a=2026$.

Cho các số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{100}$. Đặt
$$P_i=x_i^{(\ln x_1)(\ln x_2)\cdots(\ln x_{i-1})(\ln x_{i+1})\cdots(\ln x_{100})}$$
với $i=1,2,\ldots,100$. Giả sử $\sum_{k=1}^{100}P_k=10000$. Tính $\left\lfloor\prod_{k=1}^{100}\ln x_k\right\rfloor$.

Gọi $x^\circ$ là góc giữa kim giờ và kim phút lúc $3:15pm$. Tính $10x$.

Trong hình dưới, các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn. Hai đường thẳng $AC,BD$ cắt nhau tại $E$, và $AB$ là đường kính của một đường tròn đi qua $A,B,E$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$; $N$ là giao điểm của đường thẳng qua $M,E$ và đường thẳng qua $A,D$. Biết $BC=28$, $AN=27$, $DN=3$, $MN=x$, hãy tính $x$.

Cho các số thực $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ sao cho
$$(\tan x_1)(\tan x_2)(\tan x_3)(\tan x_4)(\tan x_5)(\tan x_6)=1.$$
Gọi $A$ là giá trị lớn nhất của
$$(\sin x_1)(\sin x_2)(\sin x_3)(\sin x_4)(\sin x_5)(\sin x_6).$$
Tính $\lfloor A^{-1}\rfloor$.

Đa thức $P(x)=\sum_{k=0}^{64}a_kx^k$, với $a_j$ thực cho $j=0,\ldots,64$ và $a_{64}=1$, thỏa $P(j)=10j$ với $j=1,2,\ldots,63$. Tìm số dư khi chia $P(66)+P(-2)$ cho $67$.

Giả sử $\alpha+\beta+\gamma=3$, $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=5$, $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=12$. Tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$.

Cho $A=\left(\sec\frac{2\pi}{9}\right)\left(\sec\frac{4\pi}{9}\right)\left(\sec\frac{8\pi}{9}\right)$. Tính $\lfloor|A|\rfloor$.

Đường tròn $\mathcal C$ có phương trình $(x-10)^2+(y-10\sqrt3)^2=39$. Gọi $a$ là số thực lớn nhất sao cho tiếp tuyến $\mathcal L$ của $\mathcal C$ tại $(a,b)$ đi qua gốc tọa độ. Biết
$$\frac ba=\alpha\sqrt3+\beta\sqrt{39},$$
hãy tính $\left\lceil\left|\frac\alpha\beta\right|\right\rceil$, trong đó $\alpha,\beta$ hữu tỉ ở dạng tối giản.

Trong hình dưới, hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ có tâm lần lượt $O_1,O_2$. Các đường thẳng $AB,CD,EF$ tiếp xúc với cả hai đường tròn tại các điểm $A,B,C,D,P,Q$ như hình, và $CD$ vuông góc $EF$. Đường tròn $\Gamma_1$ tiếp xúc $EF$ tại $P$, còn $\Gamma_2$ tiếp xúc $EF$ tại $Q$. Biết $PQ=11$, $O_1O_2=61$, $EF=x$, hãy tính $x$.

Tìm số cặp có thứ tự $(x,y)$ gồm các số nguyên không âm thỏa $x^6-y^2=7$.

Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_{2026}$. Gọi $k$ là số thực lớn nhất sao cho
$$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2026}^2\ge k\sum_{1\le i\lt j\le2026}a_i a_j.$$
Tính $\left\lfloor\left|\frac1k\right|\right\rfloor$.

Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{468a+459b+444c}{108}+\frac{4a(27+256bc)+108(b+c)}{a^2bc+ab^2c+abc^2}.$$