SMO 2024 - Junior - Vòng 2

Cho $ABC$ là tam giác vuông cân có diện tích $1$. Tìm độ dài đoạn thẳng ngắn nhất chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Cho $ABCD$ là hình bình hành và các điểm $E,F$ nằm ngoài hình. Nếu hai tam giác $BCF$ và $DEC$ đồng dạng, tức $\triangle BCF\sim\triangle DEC$, chứng minh rằng tam giác $AEF$ đồng dạng với hai tam giác ấy.

Bảy tam giác, mỗi tam giác có diện tích $7$, nằm trong một hình vuông có diện tích $27$. Chứng minh rằng trong bảy tam giác có hai tam giác giao nhau theo một miền diện tích không nhỏ hơn $1$.

Giả sử với một số nguyên dương $n$, hai số $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên. Chữ số đầu ấy có thể nhận những giá trị nào?

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
$$y^2+2y=x^4+20x^3+104x^2+40x+2003.$$