Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, còn $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$. Ví dụ, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$; $\lceil5\rceil$, $\lceil2.8\rceil=3$, $\lceil-2.3\rceil=-2$.
Trên mặt phẳng tọa độ Descartes, phương trình $|x^2-x|=k$ có 4 nghiệm phân biệt với $a\lt k\lt b$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\lfloor4(b-a)\rfloor$.
Mười số nguyên không âm $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{10}$ thỏa phương trình $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(kx_k)^3=3024$. Tính $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}x_k$.
Trong tam giác nhọn $ABC$, $BH$ là đường cao từ $B$, còn $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Gọi $F$ là ảnh đối xứng của $H$ qua $DE$. Biết $\angle C=40^\circ$ và $\angle FAH=35^\circ$. Tính số đo góc $A$ theo độ.
Trong không gian Descartes với ba trục $x,y,z$ đôi một vuông góc theo chiều ngược kim đồng hồ, một gương phẳng có phương trình $x+y+3z=24$. Một tia sáng đi theo đường thẳng
$$\mathbf r=\begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix},\quad\lambda\in\mathbb R$$
đập vào gương phẳng và phản xạ theo đường thẳng
$$\mathbf r=\begin{pmatrix}5\\1\\6\end{pmatrix}+v\begin{pmatrix}3\\a\\b\end{pmatrix},\quad v\in\mathbb R.$$
Tính $|a+b|$.
Nếu $X=\left(\dfrac{\sqrt5+\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2}\right)^8+\left(\dfrac{\sqrt5-\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt2}\right)^8$, hãy tính $\lceil X\rceil$, biết $\sqrt6\approx2.4495$.
Ba thị trấn $X,Y,Z$ nằm trên một mặt phẳng, lần lượt có tọa độ $(0,0)$, $(200,0)$ và $(0,300)$. Số học sinh ở $X,Y,Z$ lần lượt là 100, 200 và 300. Một trường học được xây tại điểm lưới $(x,y)$, trong đó $x,y$ đều nguyên, sao cho tổng quãng đường tất cả học sinh đi là nhỏ nhất. Tính $x+y$.
Zhan Zhao viết 100 số lên bảng và tính tích của chúng. Sau đó bạn tăng mỗi số thêm 1 và nhận thấy tích không đổi. Bạn tiếp tục tăng các số theo cùng cách nhiều lần, tích vẫn không đổi. Bạn thực hiện quy trình này $k$ lần, lần nào cũng có cùng tích. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $k$.