Cho $ABCD$ là tứ giác lồi và $M$ là giao điểm hai đường chéo của nó. Qua $M$ kẻ một đường thẳng cắt cạnh $AB$ tại $P$ và cạnh $CD$ tại $Q$. Tìm tất cả các tứ giác sao cho tồn tại đoạn $PQ$ chia hai tam giác $ABM$ và $CDM$ thành 4 tam giác đồng dạng.
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của $\triangle ABC$ và $\omega$ là đường tròn nội tiếp. Gọi $D$ là giao điểm của $\omega$ với $BC$. Giả sử $X,Y$ thuộc $\omega$ sao cho các đường thẳng $IX,IY$ và $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\triangle AXY$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ đi qua trung điểm của $BC$.
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$, trong đó $\mathbb Z^+$ là tập các số nguyên dương, sao cho với mọi số nguyên dương $m,n$,
$$f^{f(m)}(n)+n=f^m(n)+f(n).$$
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số dương và $A$ là trung bình cộng của chúng. Chứng minh rằng
$$A^{n-1}\ge\frac1n\sum_{i=1}^n a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_n,$$
trong đó $\widehat{a_i}$ nghĩa là bỏ thừa số $a_i$.
Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho có thể chọn 8 đỉnh của một đa giác đều $m$ cạnh mà không có ba đỉnh nào trong số đã chọn tạo thành một tam giác cân.