Có $m$ con cáo và $n$ con thỏ ngồi trên $m+n$ ghế quanh bàn tròn, tất cả đều phân biệt. Một cáo và một thỏ ngồi cạnh nhau có thể đổi chỗ. Từ cấu hình ban đầu cố định, xác định số cấu hình đạt được bằng một dãy đổi chỗ. Các cấu hình quay hoặc phản xạ được xem là khác nhau.
Tác giả đề bài: Milan Haiman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$, không góc nào bằng $60^\circ$, có đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Gọi $\Delta_B$ là tam giác đều nội tiếp $\omega$ có một đỉnh $B$, và $\ell_B$ là đường qua hai đỉnh còn lại. Định nghĩa $\Delta_C,\ell_C$ tương tự. Đặt $Y=AC\cap\ell_B$, $Z=AB\cap\ell_C$. Đường tròn ngoại tiếp $AYZ$ cắt lại $\omega$ tại $P\ne A$. Đặt $D=BC\cap YZ$, $E=PA\cap YZ$. Chứng minh $PE=PD$.
Tác giả đề bài: Rogelio Guerrero.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$, tâm $O$. Hai đường $AO,BC$ cắt nhau tại $D$. Gọi $X$ là tâm bàng tiếp đối diện $A$ của tam giác $ABD$, $Y$ là tâm bàng tiếp đối diện $A$ của tam giác $ACD$. Chứng minh nếu $X\in\omega$ thì $Y\in\omega$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Số nguyên dương $n$ được gọi là đơn độc nếu với mọi số nguyên không âm $a,b$ thỏa $a+b=n$, ít nhất một trong hai số $a,b$ có chữ số $1$. Xác định và chứng minh số lượng số đơn độc nhỏ hơn $10^{2026}$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Emily có một tờ giấy đỏ. Bạn ấy vẽ $2026$ đường tròn không nhất thiết cùng kích thước, tô một hình tròn màu đen, rồi cắt theo chu vi của cả $2026$ đường tròn. Tờ giấy được tách thành ít nhất $2$ mảnh đen và một số mảnh đỏ. Có thể tất cả mảnh đen đều bằng nhau không?
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cố định các số nguyên dương $k,d$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ $n$ đủ lớn, tất cả các chữ số của biểu diễn $n^k$ trong cơ số $2n$ đều lớn hơn $d$.
Tác giả đề bài: John Berman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho $m,n$ nguyên dương và lưới $\mathcal R$ gồm $2m\times2n$ ô vuông đơn vị. Domino là hình chữ nhật $1\times2$ hoặc $2\times1$. Đường đi lên-phải nối góc dưới-trái với góc trên-phải bằng đúng $2m+2n$ cạnh lưới. Tìm số đường đi chia $\mathcal R$ thành hai miền (có thể rỗng), mỗi miền đều lát được bằng domino.
Tác giả đề bài: Wilbert Chu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho $n$ nguyên dương và các số nguyên $a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_n\ge0$. Chứng minh $$\sum_{i=0}^n i\binom{a_i}{2}\le\frac12\binom{a_0+a_1+\cdots+a_n}{2}.$$
Tác giả đề bài: Hung-Hsun Yu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$, $F$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $P$ là ảnh đối xứng của $H$ qua $BC$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $X,Y$. Chứng minh $CX=CY$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tập số nguyên $S$ thỏa: (i) $\{1,2,\ldots,2025\}\subseteq S$; (ii) nếu $a,b\in S$, $\gcd(a,b)=1$ thì $ab\in S$; (iii) nếu $s\in S$ và $s+1$ hợp số thì mọi ước dương của $s+1$ thuộc $S$. Chứng minh $S$ chứa mọi số nguyên dương.
Tác giả đề bài: Enrique Treviño.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có $AB=7$, $CD=8$. Các điểm $P,Q$ trên đoạn $AB$ thỏa $AP=BQ=3$. Các điểm $R,S$ trên đoạn $CD$ thỏa $CR=DS=2$. Chứng minh $PQRS$ là tứ giác nội tiếp.
Tác giả đề bài: Evan o’Dorney. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216434. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cho các số nguyên dương $m,n$ và tập điểm nguyên $S=\{(x,y):1\le x\le2m,\ 1\le y\le2n\}$. Một cấu hình gồm $mn$ hình chữ nhật có cạnh song song các trục gọi là vui nếu mỗi điểm của $S$ là đỉnh của đúng một hình chữ nhật. Chứng minh số cấu hình vui là số lẻ.
Tác giả đề bài: Serena An and Claire Zhang. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216444. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Dãy số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ thỏa $a_1=2$ và
$$a_{n+1}=a_n^{n+1}-1\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh với mỗi số nguyên tố lẻ $p$ và số nguyên $k$, có một số hạng chia hết cho $p^k$.
Tác giả đề bài: John Berman. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216450. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cho $n\ge3$. Rowan được hoán vị các hàng, Colin được hoán vị các cột của bảng $n\times n$ tô đỏ hoặc xanh. Cách tô gọi là có trật tự nếu sau bất kỳ hoán vị hàng nào, có thể hoán vị cột để khôi phục bảng gốc; và sau bất kỳ hoán vị cột nào, có thể hoán vị hàng để khôi phục bảng gốc. Có bao nhiêu cách tô có trật tự?
Tác giả đề bài: Alec Sun. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30227193. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi số thực $x,y$,
$$f(x^2-y)+2yf(x)=f(f(x))+f(y).$$
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30227204. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle DAC=\angle ACB$ và $\angle BDC=90^\circ+\angle BAC$. Chọn $E$ trên tia $BD$ sao cho $AE=EC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$.
Tác giả đề bài: Anton Trygub. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p27349258. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $P$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $AM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $B,Q$. Gọi $N$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $NB=NC$.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.