Ngân hàng câu hỏi USAJMO 2021

Tìm tất cả hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa $f(a^2+b^2)=f(a)f(b)$ và $f(a^2)=f(a)^2$ với mọi số nguyên dương $a,b$. Ở đây $\mathbb N$ là tập các số nguyên dương.

Tác giả đề bài: Vincent Huang. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p21498724. Video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=63.

Dựng các hình chữ nhật $BCC_1B_2$, $CAA_1C_2$, $ABB_1A_2$ ra ngoài tam giác nhọn $ABC$. Giả sử

$$\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^\circ.$$

Chứng minh $B_1C_2$, $C_1A_2$, $A_1B_2$ đồng quy.

Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498558; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=890. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Tam giác đều $\Delta$ có cạnh $L>0$. Bên trong có $n$ tam giác đều cạnh $1$, phần trong đôi một không giao nhau. Các cạnh của chúng song song với các cạnh $\Delta$, nhưng hướng ngược lại. Chứng minh $n\le\frac23L^2$.

Tác giả đề bài: Alex Zhai. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p21499596. Video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=655.

Carina có ba ghim $A,B,C$ cùng ở gốc tọa độ. Mỗi bước chuyển một ghim tới một điểm nguyên kề cách nó $1$. Cần ít nhất bao nhiêu bước để tam giác $ABC$ có diện tích $2021$?

Tác giả đề bài: Brandon Wang. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p21498566. Video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=317.

Tập hữu hạn $S$ các số nguyên dương có tính chất: với mọi $s\in S$ và mọi ước dương $d$ của $s$, có đúng một $t\in S$ thỏa $\gcd(s,t)=d$; cho phép $s=t$. Tìm mọi giá trị có thể của số phần tử của $S$.

Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498580; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=1008. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.

Cho số nguyên $n\ge4$. Tìm mọi nghiệm thực dương của hệ tuần hoàn $2n$ phương trình dưới đây, chỉ số tính modulo $2n$:

$$\begin{aligned}a_1&=\frac1{a_{2n}}+\frac1{a_2},&a_2&=a_1+a_3,\\ a_3&=\frac1{a_2}+\frac1{a_4},&a_4&=a_3+a_5,\\ a_5&=\frac1{a_4}+\frac1{a_6},&a_6&=a_5+a_7,\\ &\vdots&&\vdots\\ a_{2n-1}&=\frac1{a_{2n-2}}+\frac1{a_{2n}},&a_{2n}&=a_{2n-1}+a_1.\end{aligned}$$

Tác giả đề bài: Mohsen Jamaali. Ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen: https://aops.com/community/p21498967; video trong nguồn https://youtu.be/9WNgDETHOlI?t=1700. Một điểm là quy ước biên tập không chính thức; chỉ chấm tự luận thủ công.