Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có $AB=7$, $CD=8$. Các điểm $P,Q$ trên đoạn $AB$ thỏa $AP=BQ=3$. Các điểm $R,S$ trên đoạn $CD$ thỏa $CR=DS=2$. Chứng minh $PQRS$ là tứ giác nội tiếp.
Tác giả đề bài: Evan o’Dorney. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216434. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cho các số nguyên dương $m,n$ và tập điểm nguyên $S=\{(x,y):1\le x\le2m,\ 1\le y\le2n\}$. Một cấu hình gồm $mn$ hình chữ nhật có cạnh song song các trục gọi là vui nếu mỗi điểm của $S$ là đỉnh của đúng một hình chữ nhật. Chứng minh số cấu hình vui là số lẻ.
Tác giả đề bài: Serena An and Claire Zhang. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216444. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Dãy số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ thỏa $a_1=2$ và
$$a_{n+1}=a_n^{n+1}-1\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh với mỗi số nguyên tố lẻ $p$ và số nguyên $k$, có một số hạng chia hết cho $p^k$.
Tác giả đề bài: John Berman. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30216450. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cho $n\ge3$. Rowan được hoán vị các hàng, Colin được hoán vị các cột của bảng $n\times n$ tô đỏ hoặc xanh. Cách tô gọi là có trật tự nếu sau bất kỳ hoán vị hàng nào, có thể hoán vị cột để khôi phục bảng gốc; và sau bất kỳ hoán vị cột nào, có thể hoán vị hàng để khôi phục bảng gốc. Có bao nhiêu cách tô có trật tự?
Tác giả đề bài: Alec Sun. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30227193. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi số thực $x,y$,
$$f(x^2-y)+2yf(x)=f(f(x))+f(y).$$
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p30227204. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle DAC=\angle ACB$ và $\angle BDC=90^\circ+\angle BAC$. Chọn $E$ trên tia $BD$ sao cho $AE=EC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$.
Tác giả đề bài: Anton Trygub. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.