Gọi $P(n)$ là số hoán vị $(a_1,\ldots,a_n)$ của $1,2,\ldots,n$ sao cho $ka_k$ là số chính phương với mọi $1\le k\le n$. Tìm và chứng minh giá trị nhỏ nhất của $n$ để $2010\mid P(n)$.
Tác giả đề bài: Andy Niedermier (theo ghi nhận trong nguồn).
Cho số nguyên $n\gt 1$. Tìm tất cả các dãy số nguyên dương $x_1,\ldots,x_{n-1}$ thỏa mãn: (a) $x_1\lt \cdots\lt x_{n-1}$; (b) $x_i+x_{n-i}=2n$ với $1\le i\le n-1$; (c) nếu $x_i+x_j\lt 2n$ (cho phép $i=j$) thì tổng ấy là một số hạng của dãy.
Tác giả đề bài: Răzvan Gelca (theo ghi nhận trong nguồn).
Ngũ giác lồi $AXYZB$ nội tiếp một nửa đường tròn có đường kính $AB$. Gọi $P,Q,R,S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $Y$ lên các đường thẳng $AX,BX,AZ,BZ$. Chứng minh góc nhọn giữa $PQ$ và $RS$ bằng nửa $\angle XOZ$, với $O$ là trung điểm $AB$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong nguồn).
Một tam giác được gọi là tam giác parabol nếu các đỉnh thuộc $y=x^2$. Chứng minh với mọi số nguyên không âm $n$, tồn tại một số nguyên lẻ $m$ và một tam giác parabol có ba đỉnh phân biệt với tọa độ nguyên, diện tích bằng $(2^n m)^2$.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).
Hai hoán vị $(a_1,\ldots,a_{2010})$ và $(b_1,\ldots,b_{2010})$ của $1,\ldots,2010$ được gọi là giao nhau nếu có chỉ số $k$ sao cho $a_k=b_k$. Chứng minh tồn tại 1006 hoán vị sao cho mọi hoán vị khác đều giao với ít nhất một hoán vị trong số đó.
Tác giả đề bài: Gregory Galperin (theo ghi nhận trong nguồn).
Trong tam giác $ABC$ có $\angle A=90^\circ$, các điểm $D\in AC$, $E\in AB$ thỏa mãn $\angle ABD=\angle DBC$ và $\angle ACE=\angle ECB$. Gọi $I=BD\cap CE$. Liệu cả sáu độ dài $AB,AC,BI,ID,CI,IE$ có thể đồng thời là số nguyên không? Chứng minh kết luận.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).