Cho $n\ge2$. Carl có $n$ quyển sách với chiều cao đôi một khác nhau và chiều rộng đôi một khác nhau, ban đầu xếp từ trái sang phải theo chiều cao tăng. Mỗi bước đổi hai sách kề nhau nếu quyển bên trái rộng hơn và thấp hơn quyển bên phải. Carl tiếp tục tới khi không còn bước hợp lệ. Chứng minh mọi quá trình đều dừng và thứ tự cuối tăng theo chiều rộng.
Tác giả đề bài: Milan Haiman. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p15952780. Video trong nguồn https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=1190.
Gọi $\omega$ là đường tròn nội tiếp tam giác đều cố định $ABC$. Tiếp tuyến biến thiên $\ell$ của $\omega$ cắt phần trong các đoạn $BC,CA$ lần lượt tại $P,Q$. Chọn $R$ thỏa $PR=PA$ và $QR=QB$. Tìm quỹ tích tất cả các điểm $R$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Waldemar Pompe. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p15952801. Video trong nguồn https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=1575.
Một lập phương rỗng $2020\times2020\times2020$ có lưới ô vuông đơn vị trên mỗi mặt. Mỗi thanh là lăng trụ $1\times1\times2020$. Hai mặt đơn vị của thanh trùng với ô lưới trên hai mặt đối diện; phần trong các thanh rời nhau; và phần trong của mỗi mặt dài phải chạm một mặt hộp hoặc phần trong một mặt của thanh khác. Tìm số thanh dương nhỏ nhất có thể đặt.
Tác giả đề bài: Alex Zhai. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=2440
Cho tứ giác lồi nội tiếp $ABCD$ thỏa $DA\lt AB=BC\lt CD$. Lấy $E$ trên $CD$, $F$ trên $AB$ sao cho $BE\perp AC$ và $EF\parallel BC$. Chứng minh $FB=FD$.
Tác giả đề bài: Milan Haiman. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p15952890. Video trong nguồn https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=3960.
Cho $(a_1,b_1),\ldots,(a_{100},b_{100})$ là các cặp có thứ tự phân biệt gồm số nguyên không âm. Gọi $N$ là số cặp $1\le i\lt j\le100$ thỏa $|a_ib_j-a_jb_i|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Liên kết video trong nguồn: https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=4530
Cho $n\ge2$ và đa thức không hằng $P(x_1,\ldots,x_n)$ có hệ số thực. Giả sử $P$ bằng không bất cứ khi nào hai đối số bằng nhau. Chứng minh $P$ có ít nhất $n!$ đơn thức khác không sau khi thu gọn.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p15952921. Video trong nguồn https://youtu.be/r7j0oRtpErA?t=4905.