Có $a+b$ bát xếp thành hàng, đánh số từ $1$ đến $a+b$, với $a,b$ nguyên dương. Ban đầu mỗi bát trong $a$ bát đầu chứa một quả táo, mỗi bát trong $b$ bát cuối chứa một quả lê. Mỗi bước hợp lệ chuyển một táo từ bát $i$ sang $i+1$ và một lê từ bát $j$ sang $j-1$, với $i-j$ chẵn. Một bát có thể chứa nhiều quả. Chứng minh có thể đưa mỗi bát trong $b$ bát đầu về một lê và mỗi bát trong $a$ bát cuối về một táo khi và chỉ khi $ab$ chẵn.
Tác giả đề bài: Jim Propp. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p12189456.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa $AD^2+BC^2=AB^2$. Hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Điểm $P$ trên cạnh $AB$ thỏa $\angle APD=\angle BPC$. Chứng minh đường thẳng $PE$ đi qua trung điểm $CD$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Cho tam giác $ABC$ có $\angle B>90^\circ$. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$. Đường thẳng $EF$ có thể tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp góc $A$ không?
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya, Zack Chroman, Anant Mudgal. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p12195848.
Cho số nguyên $n\ge0$. Đếm các họ tập $S_{ij}\subseteq\{1,\ldots,2n\}$ với $0\le i,j\le n$ thỏa $|S_{ij}|=i+j$ và $S_{ij}\subseteq S_{kl}$ khi $i\le k$, $j\le l$. Các tập không nhất thiết phân biệt.
Tác giả đề bài: Ricky Liu. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.
Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m,n$. Ban đầu trên bảng có $m/n$ và $n/m$. Mỗi bước Evan được chọn hai số $x,y$ trên bảng và viết thêm trung bình cộng $(x+y)/2$ hoặc trung bình điều hòa $2xy/(x+y)$. Với những cặp $(m,n)$ nào có thể viết $1$ sau hữu hạn bước?
Tác giả đề bài: Yannick Yao. Nguồn: tuyển tập lời giải độc lập của Evan Chen.