Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm số lượng số nguyên dương có $n$ chữ số sao cho không có hai chữ số liên tiếp bằng nhau và chữ số cuối là số nguyên tố.
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$, với $AC\perp BD$. Gọi $E,F$ là ảnh của $D$ qua đối xứng trục $BA,BC$, và $P=BD\cap EF$. Các đường tròn ngoại tiếp $EPD,FPD$ cắt lại $\omega$ tại $Q,R$ tương ứng, khác $D$. Chứng minh $EQ=FR$.
Tìm mọi số thực $x$ sao cho tồn tại tam giác $ABC$ có bán kính ngoại tiếp $2$, $\angle ABC\ge90^\circ$, và $x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$, trong đó $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$.
Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên $a_1,\ldots,a_p$. Chứng minh tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a_1+k,a_2+2k,\ldots,a_p+pk$ có ít nhất $p/2$ số dư phân biệt modulo $p$.
Karl có các lá bài $1,2,\ldots,n$ xếp theo thứ tự bất kỳ. Cặp $(a,b)$ gọi là đảo nếu $a\gt b$ và lá $a$ nằm bên trái lá $b$. Karl chuyển lá 1 tới vị trí đối xứng: nếu trước đó có $i$ lá bên trái thì sau đó có $i$ lá bên phải. Anh làm tương tự với các lá $2,3,\ldots,n$, mỗi lá đúng một lần theo thứ tự ấy.