Có $m$ con cáo và $n$ con thỏ ngồi trên $m+n$ ghế quanh bàn tròn, tất cả đều phân biệt. Một cáo và một thỏ ngồi cạnh nhau có thể đổi chỗ. Từ cấu hình ban đầu cố định, xác định số cấu hình đạt được bằng một dãy đổi chỗ. Các cấu hình quay hoặc phản xạ được xem là khác nhau.
Tác giả đề bài: Milan Haiman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$, không góc nào bằng $60^\circ$, có đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Gọi $\Delta_B$ là tam giác đều nội tiếp $\omega$ có một đỉnh $B$, và $\ell_B$ là đường qua hai đỉnh còn lại. Định nghĩa $\Delta_C,\ell_C$ tương tự. Đặt $Y=AC\cap\ell_B$, $Z=AB\cap\ell_C$. Đường tròn ngoại tiếp $AYZ$ cắt lại $\omega$ tại $P\ne A$. Đặt $D=BC\cap YZ$, $E=PA\cap YZ$. Chứng minh $PE=PD$.
Tác giả đề bài: Rogelio Guerrero.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$, tâm $O$. Hai đường $AO,BC$ cắt nhau tại $D$. Gọi $X$ là tâm bàng tiếp đối diện $A$ của tam giác $ABD$, $Y$ là tâm bàng tiếp đối diện $A$ của tam giác $ACD$. Chứng minh nếu $X\in\omega$ thì $Y\in\omega$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Số nguyên dương $n$ được gọi là đơn độc nếu với mọi số nguyên không âm $a,b$ thỏa $a+b=n$, ít nhất một trong hai số $a,b$ có chữ số $1$. Xác định và chứng minh số lượng số đơn độc nhỏ hơn $10^{2026}$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Emily có một tờ giấy đỏ. Bạn ấy vẽ $2026$ đường tròn không nhất thiết cùng kích thước, tô một hình tròn màu đen, rồi cắt theo chu vi của cả $2026$ đường tròn. Tờ giấy được tách thành ít nhất $2$ mảnh đen và một số mảnh đỏ. Có thể tất cả mảnh đen đều bằng nhau không?
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.