Với những số nguyên dương $m$ nào tồn tại một dãy vô hạn trong $\mathbb Z/m\mathbb Z$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân nhưng không phải dãy hằng?
Tác giả đề bài: Holden Mui. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774800. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cho các số nguyên dương $a,b$. Mỗi ô của bảng $(a+b+1)\times(a+b+1)$ có màu hổ phách hoặc màu đồng, với ít nhất $a^2+ab-b$ ô hổ phách và ít nhất $b^2+ab-a$ ô đồng. Chứng minh có thể chọn $a$ ô hổ phách và $b$ ô đồng sao cho không có hai ô cùng hàng hoặc cùng cột.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774812. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Cho các số nguyên $b,w\ge2$, đặt $n=b+w$. Ghép $2b$ thanh đen và $2w$ thanh trắng dài một đơn vị thành đa giác đều $2n$ cạnh, sao cho các cạnh song song cùng màu. Tịnh tiến các thanh đen thành đa giác lồi $B$ có $2b$ cạnh và các thanh trắng thành đa giác lồi $W$ có $2w$ cạnh. Chứng minh $[B]-[W]$ chỉ phụ thuộc $b,w$, không phụ thuộc cách ghép. Ví dụ trong nguồn có $b=3,w=2$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24775345. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Cho hình thoi $ABCD$. Hai điểm $K,L$ thỏa mãn $K$ nằm trong hình thoi, $L$ nằm ngoài hình thoi và $KA=KB=LC=LD$. Chứng minh tồn tại $X,Y$ lần lượt trên các đường thẳng $AC,BD$ sao cho $KXLY$ là hình thoi.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774741. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Tìm mọi cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p-q$ và $pq-q$ đều là số chính phương.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Nguồn: ghi chú lời giải bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24774670. Một điểm là quy ước biên tập, không phải thang điểm chính thức; bài tự luận phải chấm thủ công.
Giả sử $\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}\le2022$ với mọi $n\ge0$. Chứng minh $|a_0|^2+|b_0|^2+|c_0|^2\le1$.
Tác giả đề bài: Ankan Bhattacharya. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p24775314. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
