Cố định các số nguyên dương $k,d$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ $n$ đủ lớn, tất cả các chữ số của biểu diễn $n^k$ trong cơ số $2n$ đều lớn hơn $d$.
Tác giả đề bài: John Berman.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho $m,n$ nguyên dương và lưới $\mathcal R$ gồm $2m\times2n$ ô vuông đơn vị. Domino là hình chữ nhật $1\times2$ hoặc $2\times1$. Đường đi lên-phải nối góc dưới-trái với góc trên-phải bằng đúng $2m+2n$ cạnh lưới. Tìm số đường đi chia $\mathcal R$ thành hai miền (có thể rỗng), mỗi miền đều lát được bằng domino.
Tác giả đề bài: Wilbert Chu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho $n$ nguyên dương và các số nguyên $a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_n\ge0$. Chứng minh $$\sum_{i=0}^n i\binom{a_i}{2}\le\frac12\binom{a_0+a_1+\cdots+a_n}{2}.$$
Tác giả đề bài: Hung-Hsun Yu.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.
Cho $H$ là trực tâm tam giác nhọn $ABC$, $F$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $P$ là ảnh đối xứng của $H$ qua $BC$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $X,Y$. Chứng minh $CX=CY$.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức. Các trường đáp án tự động được để trống có chủ ý.
Cho tập số nguyên $S$ thỏa: (i) $\{1,2,\ldots,2025\}\subseteq S$; (ii) nếu $a,b\in S$, $\gcd(a,b)=1$ thì $ab\in S$; (iii) nếu $s\in S$ và $s+1$ hợp số thì mọi ước dương của $s+1$ thuộc $S$. Chứng minh $S$ chứa mọi số nguyên dương.
Tác giả đề bài: Enrique Treviño.
Bài tự luận chấm thủ công; 1 điểm biên tập, không phải thang điểm chính thức.