USAJMO 2017

Chứng minh có vô hạn cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b\gt 1$ sao cho $a+b\mid a^b+b^a$.

Tác giả đề bài: Gregory Galperin.

Chứng minh phương trình $(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7$ có vô hạn nghiệm nguyên dương và tìm tất cả các nghiệm.

Tác giả đề bài: Titu Andreescu.

Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $P$ trên đường tròn ngoại tiếp. Đặt $D=PA\cap BC$, $E=PB\cap CA$, $F=PC\cap AB$. Chứng minh diện tích $[DEF]=2[ABC]$.

Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata.

Có bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ nào sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là số nguyên tố và là ước thực sự của số dương $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ không?

Tác giả đề bài: Titu Andreescu.

Gọi $O,H$ là tâm ngoại tiếp và trực tâm tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M,D$ thuộc $BC$ sao cho $BM=CM$, $\angle BAD=\angle CAD$. Tia $MO$ cắt đường tròn ngoại tiếp $BHC$ tại $N$. Chứng minh $\angle ADO=\angle HAN$.

Tác giả đề bài: Ivan Borsenco.

Có $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn đơn vị, không điểm nào là $O=(1,0)$, gồm $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Sắp thứ tự tùy ý các điểm đỏ $R_1,\ldots,R_n$. Ghép $R_1$ với điểm xanh đầu tiên gặp khi đi ngược chiều kim đồng hồ, gọi là $B_1$; ghép $R_2$ với điểm xanh đầu tiên còn lại theo chiều đó, rồi tiếp tục. Chứng minh số cung ngược chiều kim đồng hồ $R_i\to B_i$ chứa $O$ không phụ thuộc thứ tự các điểm đỏ.

Tác giả đề bài: Maria Monks.