Tác giả đề bài: Titu Andreescu. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p27349258. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $P$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $AM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm phân biệt $B,Q$. Gọi $N$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $NB=NC$.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công.
Cho số nguyên dương lẻ $n$. Một cấu hình cực đại theo lưới $C$ gồm $(n^2-1)/2$ quân domino giống nhau trên bảng ô vuông đơn vị $n\times n$. Mỗi quân phủ hai ô kề cạnh, không chồng lên nhau, nên còn đúng một ô trống. Một nước đi trượt một quân, không xoay, để phủ ô trống và để lại ô trống mới. Gọi $k(C)$ là số cấu hình phân biệt đạt được bằng một số bất kỳ nước đi, kể cả không đi. Tìm giá trị lớn nhất của $k(C)$ theo $n$.
Tác giả đề bài: Holden Mui. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p27349423. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Blake và Ruby chơi trên lưới vô hạn ban đầu màu trắng. Hai người luân phiên, Blake đi trước. Mỗi lượt Blake tô xanh một ô trắng; Ruby tô đỏ hai ô trắng. Blake có thể kết thúc trò chơi. Điểm của Blake là số ô đơn vị trong đa giác đơn lớn nhất chỉ gồm các ô xanh. Blake có thể bảo đảm số điểm lớn nhất là bao nhiêu?
Tác giả đề bài: David Torres. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p27349414. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.
Cố định các số nguyên dương $a,N$ và viết $N$ số nguyên dương trên bảng. Alice và Bob luân phiên đi, Alice đi trước. Mỗi lượt Alice thay một số $n$ bằng $n+a$; mỗi lượt Bob phải thay một số chẵn $n$ bằng $n/2$. Trò chơi kết thúc khi đến lượt Bob mà không có nước đi hợp lệ. Sau khi xem bảng ban đầu, Bob biết rằng mình có chiến lược buộc trò chơi kết thúc bất kể Alice chơi thế nào. Chứng minh rằng với dữ liệu ban đầu này, trò chơi thật ra kết thúc bất kể cả hai người chơi thế nào.
Tác giả đề bài: Carl Schildkraut. Một điểm biên tập không chính thức; chấm tự luận thủ công. Liên kết nguồn: https://aops.com/community/p27349336.
Tam giác cân $ABC$, $AB=AC$, nội tiếp đường tròn $\omega$. Điểm $D$ nằm trong đoạn $BC$, với $BD\ne DC$. Tia $AD$ cắt lại $\omega$ tại $E$. Điểm $F\ne E$ trên $\omega$ thỏa $\angle DFE=90^\circ$. Đường thẳng $FE$ cắt các tia $AB,AC$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh $\angle XDE=\angle EDY$.
Tác giả đề bài: Anton Trygub. Nguồn: tuyển tập bên thứ ba của Evan Chen; https://aops.com/community/p27349508. Một điểm theo quy ước biên tập; chấm thủ công.