USAJMO 2011

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $2^n+12^n+2011^n$ là số chính phương.

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong nguồn).

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le4$. Chứng minh

\[\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\ge3.\]

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong nguồn).

Với $P=(a,a^2)$, gọi $\ell(P)$ là đường thẳng qua $P$ có hệ số góc $2a$. Xét các bộ ba điểm phân biệt $P_i=(a_i,a_i^2)$ sao cho ba đường thẳng $\ell(P_i)$ tạo thành tam giác đều $\Delta$. Tìm quỹ tích tâm của $\Delta$.

Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).

Một từ là một dãy hữu hạn các chữ cái; từ đối xứng là từ đọc xuôi và đọc ngược giống nhau. Đặt $W_0=a$, $W_1=b$, $W_n=W_{n-2}W_{n-1}$ với $n\ge2$, trong đó viết cạnh nhau nghĩa là nối từ. Chứng minh $W_1W_2\cdots W_n$ là từ đối xứng với mọi $n\ge1$.

Tác giả đề bài: Gabriel Carroll (theo ghi nhận trong nguồn).

Các điểm $A,B,C,D,E$ nằm trên đường tròn $\omega$, còn $P$ nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng $PB,PD$ tiếp xúc với $\omega$; $P,A,C$ thẳng hàng; $DE\parallel AC$. Chứng minh $BE$ đi qua trung điểm đoạn $AC$.

Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).

Xét khẳng định: với mỗi số nguyên $n\ge2$, số dư khi chia $2^{2^n}$ cho $2^n-1$ là một lũy thừa của $4$. Hãy chứng minh khẳng định hoặc đưa ra phản ví dụ kèm chứng minh.

Tác giả đề bài: Sam Vandervelde (theo ghi nhận trong nguồn).