Một bước trên dãy số thực là chọn hai số hạng và thay cả hai bằng trung bình cộng của chúng. Chứng minh tồn tại dãy $2015$ số thực phân biệt sao cho, sau một bước đầu bất kỳ, luôn có thể tiếp tục bằng hữu hạn bước để được dãy hằng.
Tác giả đề bài: Razvan Gelca (theo ghi nhận trong nguồn).
Tứ giác $APBQ$ nội tiếp đường tròn $\omega$, có $\angle P=\angle Q=90^\circ$ và $AP=AQ\lt BP$. Điểm $X$ thay đổi trên đoạn $PQ$. Đường $AX$ cắt lại $\omega$ tại $S\ne A$. Điểm $T$ nằm trên cung $AQB$ sao cho $XT\perp AX$. Gọi $M$ là trung điểm dây $ST$. Chứng minh rằng khi $X$ thay đổi, $M$ nằm trên một đường tròn cố định.
Tác giả đề bài: Zuming Feng, Jacek Fabrykowski (theo Evan Chen).
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Chứng minh tồn tại $X$ trên đoạn $BD$ sao cho $\angle BAC=\angle XAD$ và $\angle BCA=\angle XCD$ khi và chỉ khi tồn tại $Y$ trên đoạn $AC$ sao cho $\angle CBD=\angle YBA$ và $\angle CDB=\angle YDA$.
Tác giả đề bài: Sungyoon Kim (theo ghi nhận trong nguồn).
Steve xếp $m\ge1$ viên đá giống nhau trên bảng $n\times n$, mỗi ô có thể chứa tùy ý nhiều đá. Một phép chuyển chọn hai hàng $i\lt j$ và hai cột $k\lt l$, lấy một viên ở mỗi ô $(i,k),(j,l)$ rồi chuyển sang $(i,l),(j,k)$, hoặc làm ngược lại; chỉ được lấy đá ở ô đang có đá. Hai cách xếp tương đương nếu biến đổi được qua hữu hạn phép chuyển. Có bao nhiêu lớp cách xếp không tương đương?
Tác giả đề bài: Maria Monks Gillespie (theo Evan Chen).