USAJMO 2013

Có tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho $a^5b+3$ và $ab^5+3$ đều là lập phương của số nguyên hay không?

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong nguồn).

Mỗi ô của bảng $m\times n$ được điền một số nguyên không âm. Hai ô kề nhau nếu có chung một cạnh. Cách điền gọi là khu vườn nếu (i) hai số ở hai ô kề nhau chênh lệch $0$ hoặc $1$, và (ii) một số không lớn hơn tất cả các số ở ô kề phải bằng $0$. Tính số khu vườn theo $m,n$.

Tác giả đề bài: Sungyoon Kim (theo ghi nhận trong nguồn).

Trong tam giác $ABC$, các điểm $P,Q,R$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$. Gọi $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ là các đường tròn ngoại tiếp $AQR,BRP,CPQ$. Đoạn $AP$ cắt lại các đường tròn này lần lượt tại $X,Y,Z$. Chứng minh $YX/XZ=BP/PC$.

Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo tài liệu được cung cấp).

Gọi $f(n)$ là số cách viết $n$ thành tổng các lũy thừa của $2$, có xét thứ tự số hạng. Ví dụ $f(4)=6$, ứng với $4$, $2+2$, $2+1+1$, $1+2+1$, $1+1+2$, $1+1+1+1$. Tìm số nhỏ nhất $n>2013$ sao cho $f(n)$ lẻ.

Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo ghi nhận trong nguồn).

Tứ giác $XABY$ nội tiếp nửa đường tròn đường kính $XY$. Hai đoạn $AY,BX$ cắt nhau tại $P$. Gọi $Z$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên đường thẳng $XY$. Điểm $C$ trên nửa đường tròn thỏa $XC\perp AZ$, và $Q=AY\cap XC$. Chứng minh
$$\frac{BY}{XP}+\frac{CY}{XQ}=\frac{AY}{AX}.$$

Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).

Tìm mọi số thực $x,y,z\ge1$ sao cho
$$\min\bigl(\sqrt{x+xyz},\sqrt{y+xyz},\sqrt{z+xyz}\bigr)=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$$

Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo tài liệu được cung cấp).