Trong tam giác $ABC$, lấy $P\in AB$, $Q\in AC$ sao cho $AP=AQ$. Hai điểm phân biệt $S,R$ thuộc $BC$, với $S$ nằm giữa $B$ và $R$, thỏa mãn $\angle BPS=\angle PRS$, $\angle CQR=\angle QSR$. Chứng minh $P,Q,R,S$ cùng thuộc một đường tròn.
Tác giả đề bài: Sungyoon Kim, Inseok Seo (theo ghi nhận trong nguồn).
Tìm tất cả số nguyên $n\ge3$ sao cho với mọi $n$ số thực dương $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn $\max(a_1,\ldots,a_n)\le n\min(a_1,\ldots,a_n)$, luôn chọn được ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu (theo ghi nhận trong nguồn).
Cho số vô tỉ $0\lt \alpha\lt 1$. Trên đường tròn có chu vi 1, chọn $P_1$; với $2\le k\le n$ ($n\ge3$), lấy $P_k$ bằng cách đi ngược chiều kim đồng hồ từ $P_{k-1}$ một cung dài $\alpha$. Nếu $P_a,P_b$ là hai điểm kề sát $P_n$ ở hai phía trong $n$ điểm đã chọn, chứng minh $a+b\le n$.
Tác giả đề bài: Sam Vandervelde (theo ghi nhận trong nguồn).
Với hai số nguyên dương phân biệt $a,b\lt 2012$, gọi $f(a,b)$ là số các số nguyên $1\le k\lt 2012$ sao cho số dư của $ak$ khi chia cho 2012 lớn hơn số dư của $bk$. Tìm giá trị nhỏ nhất $S$ trên tất cả các cặp $(a,b)$ như vậy.
Tác giả đề bài: Warut Suksompong (theo ghi nhận trong nguồn).
Cho $P$ là một điểm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và $\gamma$ là đường thẳng qua $P$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm của ảnh đối xứng các đường $PA,PB,PC$ qua $\gamma$ với các đường $BC,CA,AB$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu, Cosmin Pohoata (theo ghi nhận trong nguồn).