Cho tam giác nhọn không đều $ABC$ có $\angle A=60^\circ$, tâm ngoại tiếp $O$ và trực tâm $H$. (a) Chứng minh đường thẳng $OH$ cắt các đoạn $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. (b) Đặt $s=[APQ]$ và $t=[BPQC]$. Tìm miền giá trị của $s/t$.
Tác giả đề bài: Zuming Feng (theo ghi nhận trong nguồn).
Cho số nguyên cố định $b\ge2$, và gọi $s_b(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong cơ số $b$. Chứng minh có vô hạn số nguyên dương không thể viết thành $n+s_b(n)$ với $n$ nguyên dương.
Tác giả đề bài: Palmer Mebane (theo ghi nhận trong nguồn).
Trên lưới lục giác đều vô hạn ban đầu trống, hai người $A,B$ luân phiên, $A$ đi trước. Mỗi lượt $A$ đặt quân vào hai ô trống kề nhau; mỗi lượt $B$ bỏ một quân bất kỳ. $A$ thắng ngay khi có $k$ ô liên tiếp trên một đường thẳng đều có quân. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất mà $A$ không thể buộc thắng sau hữu hạn lượt, hoặc chứng minh không có giá trị nhỏ nhất ấy.
Tác giả đề bài: Palmer Mebane (theo tài liệu được cung cấp).
Tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, đường tròn nội tiếp $\gamma$ và ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $M,N,P$ là trung điểm $BC,CA,AB$; $E,F$ là tiếp điểm của $\gamma$ với $CA,AB$. Đặt $U=EF\cap MN$, $V=EF\cap MP$, lấy giao của các đường thẳng; gọi $X$ là trung điểm cung $BAC$ trên $\Gamma$. (a) Chứng minh $I$ nằm trên tia $CV$. (b) Chứng minh đường thẳng $XI$ chia đôi đoạn $UV$.
Tác giả đề bài: Titu Andreescu and Cosmin Pohoata (theo ghi nhận trong nguồn).