Tam giác cân $ABC$, với $AB=AC$, nội tiếp đường tròn $\omega$. Điểm $P$ di động trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $I_B,I_C$ là tâm nội tiếp các tam giác $ABP,ACP$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $PI_BI_C$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho $X_1,X_2,\ldots,X_{100}$ là một dãy các tập con khác rỗng, đôi một khác nhau của tập $S$. Với mọi $i=1,\ldots,99$, hai tập liên tiếp rời nhau và hợp của chúng không bằng $S$: $X_i\cap X_{i+1}=\varnothing$, $X_i\cup X_{i+1}\ne S$. Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của $S$.
Tìm và chứng minh số nguyên $N$ nhỏ nhất sao cho khi bỏ đi bất kỳ $2016$ phần tử nào của $\{1,2,\ldots,N\}$, vẫn tìm được $2016$ số phân biệt còn lại có tổng bằng $N$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$, còn $P,Q$ là hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$. Biết $AH^2=2AO^2$, chứng minh $O,P,Q$ thẳng hàng.