Ngân hàng câu hỏi ITOT

Có12 học sinh có sức mạnh đôi một khác nhau. Giáo viên chia thành hai nhóm sáu người10 lần, mỗi lần một cách chia khác nhau. Có thể cả10 trận kéo co đều hòa, tức hai nhóm có tổng sức mạnh bằng nhau mỗi lần không?

Chứng minh trong các đỉnh của một cửu giác lồi bất kỳ có ba đỉnh tạo thành tam giác tù, mà không cạnh nào của tam giác là cạnh cửu giác.

Hai người luân phiên bốc từ đống100 viên. Lượt1 người thứ nhất bốc1; lượt2 người thứ hai bốc1 hoặc2; lượt3 người thứ nhất bốc1,2 hoặc3; cứ thế mỗi lượt bốc không quá số thứ tự lượt. Ai bốc viên cuối thắng. Người nào có chiến thuật chắc thắng?

Tom chọn phân số dương tối giản$x=m/n$. Mỗi lượt bạn chọn phân số dương$y\lt 1$, Tom chỉ cho biết tử số của$x+y$ sau khi rút gọn. Làm sao xác định chắc chắn$x$ bằng hai lượt?

Có chín cột thẳng đứng xếp hàng, các thanh ngang nối hai cột kề nhau ở độ cao đôi một khác nhau. Bọ bò lên, gặp thanh ngang thì qua cột bên và tiếp tục lên. Bắt đầu cột1 thì tới đỉnh cột9. Có luôn bỏ được một thanh để bọ từ cột1 tới đỉnh cột5 không? Cách phát biểu Việt trong nguồn hỏi có đường từ dưới đất tới cột5; ở đây chứng minh cả yêu cầu chặt hơn của bản Anh là vẫn xuất phát cột1.

Trong ví dụ nguồn, đường ban đầu liền; bỏ thanh thứ ba gặp trên đường cho đường đứt.

Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$, lấy$M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cung$BAC,CBA,BC,AC$; cung hai chữ là cung không chứa đỉnh còn lại. Đường tròn bàng tiếp góc$A$ tiếp xúc$BC$ tại$A_1$ và phần kéo dài$AC,AB$. Đường tròn bàng tiếp góc$B$ tiếp xúc$AC$ tại$B_1$ và phần kéo dài$BA,BC$. Biết$A_1$ thuộc đoạn$NP$. Chứng minh$B_1$ thuộc đoạn$MQ$.

Viết99 số thực đôi một khác nhau lên99 lá bài, tổng là số vô tỉ. Một cách xếp gọi là không may mắn nếu với mọi$k=1,\ldots,99$, tổng$k$ lá đầu đều vô tỉ. Số cách xếp không may mắn ít nhất có thể là bao nhiêu?

Mỗi khi Tom cắt một miếng bánh thành hai miếng thì hai miếng nặng bằng nhau. Khi cắt thành nhiều hơn hai miếng, trọng lượng các miếng phải đôi một khác nhau. Sau một số lần cắt, Tom có17 miếng. Có thể cả17 miếng nặng bằng nhau không? Không được ghép các miếng lại.

Mỗi ô bàn cờ$8\times8$ được tô một màu. Hai ô kề nhau theo đường chéo, hoặc là đầu và cuối một nước đi quân mã, luôn khác màu. Cần ít nhất bao nhiêu màu? Hình nguồn minh họa các nước đi quân mã.

Trong hình có năm tam giác đều: ba tam giác lớn bằng nhau và hai tam giác nhỏ bằng nhau. Tìm các góc của tam giác$ABC$.

Có25 đồng xu giá trị khác nhau trong bảng$5\times5$, mỗi ô một đồng. Hai tên cướp biển luân phiên lấy một đồng. Được lấy nếu trong cùng hàng không còn đồng nào bên trái hoặc không còn đồng nào bên phải; hoặc trong cùng cột không còn đồng nào phía trên hoặc không còn đồng nào phía dưới. Người đi trước có luôn bảo đảm lấy ít nhất nửa tổng giá trị không?

Có$N$ con trăn với cỡ miệng phân biệt1,2,...,$N$ cm. Mỗi con nuốt mọi quả táo được cho có đường kính không lớn hơn cỡ miệng, không nuốt quả lớn hơn. Không nhận biết cỡ miệng qua ngoại hình. Một buổi tối, người nuôi phân cho từng con số táo tùy ý với kích thước tùy ý; sau đêm quan sát phần chúng đã ăn. Cần ít nhất bao nhiêu quả táo để chắc chắn xác định cỡ miệng từng con?

Tìm tất cả cặp số nguyên dương$(m,n)$ sao cho$m!!=n!$. Ký hiệu$m!!$ là tích các số nguyên dương không vượt$m$ và cùng tính chẵn lẻ với$m$; ví dụ$5!!=15$, $6!!=48$.

Có hữu hạn hình tròn bán kính1 trong không gian, có thể giao nhau nhưng không hình nào chứa tâm hình khác. Tại mỗi tâm có đèn chiếu mọi hướng; ánh sáng xuyên qua các hình tròn. Có thể mọi tia từ mọi đèn đều gặp ít nhất một hình tròn khác không?

Mỗi ô bảng$N\times N$ chứa một số. Ô tốt nếu có một ô chung cạnh chứa số lớn hơn đúng1 và một ô chung cạnh khác chứa số lớn hơn đúng3. Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô tốt?

Hai đường tròn bằng nhau$\omega_1,\omega_2$ có tâm$O_1,O_2$. Lấy$X,Y$ trên đoạn$O_1O_2$ sao cho$O_1Y=O_2X$. Các điểm$A,B$ thuộc$\omega_1$, đường$AB$ qua$X$; các điểm$C,D$ thuộc$\omega_2$, đường$CD$ qua$Y$. Chứng minh có đường tròn tiếp xúc cả bốn đường$AO_1,BO_1,CO_2,DO_2$.

Giữ nguyên khẳng định nguồn. Cách phát biểu không hạn chế có phản ví dụ, được phân tích trong lời giải tự biên soạn thay vì âm thầm thêm giả thiết.

Đa thức bậc$n>0$ có mọi hệ số là số nguyên khác0, mỗi hệ số là một nghiệm của chính đa thức. Chứng minh mọi hệ số chỉ có thể là$1,-1,-2$.

Sáo Harry chỉ chơi hai nốt$B,C$. Trước khi bắt đầu, Voldemort cấm một giai điệu mỗi độ dài5,6,...,30. Nếu một đoạn liên tiếp vừa chơi trùng giai điệu cấm thì Harry thua. Harry có luôn chơi được300 nốt hợp lệ, bất kể các giai điệu bị cấm không?

Một sọc là đa giác ô lưới có thể đi qua mọi ô đúng một lần bằng các bước lên hoặc sang phải giữa hai ô chung cạnh. Các bản sao bằng nhau ghép liên tiếp bằng tịnh tiến véc-tơ$(-1,1)$. Chứng minh với mỗi sọc có số ô chẵn, tồn tại$k$ lẻ sao cho hợp$k$ bản sao liên tiếp cắt theo đường lưới thành hai phần bằng nhau. Hai phần được phép trùng nhau sau quay hoặc lật.

Dãy số thực$a_1,a_2,\ldots$ thỏa$a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})/2$ với mọi$n\ge1$. Chứng minh các parabol$y=x^2+a_nx+a_{n+1}$ đều đi qua một điểm chung.