Độ phức tạp của số nguyên $n\gt 1$ là số thừa số trong phân tích nguyên tố, đếm cả số lần xuất hiện; ví dụ 4 và 6 đều có độ phức tạp 2. Tìm mọi $n$ sao cho mọi số nguyên $m$ nằm giữa và khác hai đầu mút $n$ và $2n$ có độ phức tạp (a) không lớn hơn độ phức tạp của $n$; (b) nhỏ hơn độ phức tạp của $n$. Điểm gốc:2+2.
Hai tam giác nhọn $ABC,A_1B_1C_1$ thỏa $B_1,C_1\in BC$ và $A_1$ nằm trong $ABC$. Diện tích tương ứng là $S,S_1$. Chứng minh $\frac{S}{AB+AC}\gt \frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}$.
Có 100 đồng xu trông giống nhau, gồm vàng, bạc và đồng, mỗi loại ít nhất một. Khối lượng tương ứng là 3,2,1 gam. Hãy xác định loại từng đồng bằng không quá 101 phép cân đĩa, không dùng quả cân.
Tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$. Hạ các đường vuông góc $OP,OQ$ đến phân giác trong và ngoài của góc $B$. Chứng minh đường $PQ$ chia đôi đoạn nối trung điểm của $CB$ và $AB$.
Cặp số nguyên dương phân biệt $(m,n)$ được gọi là tốt nếu $mn$ và $(m+1)(n+1)$ là số chính phương. Chứng minh với mọi số nguyên dương $m$ có $n\gt m$ tạo thành cặp tốt.
Peter ban đầu có vài tờ 100 rúp, không có tiền khác. Giá sách là số nguyên dương; tiền thừa nhận bằng đồng 1 rúp. Sách đắt (ít nhất 100 rúp) được mua bằng số tờ 100 rúp ít nhất cần thiết. Sách rẻ (dưới 100 rúp) được mua bằng xu nếu đủ, nếu không thì bằng một tờ 100 rúp. Khi hết tiền giấy, Peter đã tiêu đúng nửa số tiền ban đầu. Có thể đã tiêu ít nhất 5000 rúp không? (Bản tiếng Anh chính thức dùng đô la, bản Việt dùng rúp; phép tính không đổi.)
Peter có con tem gỗ hình vuông chia thành các ô vuông nhỏ. Bạn tô đen 102 ô và đóng tem 100 lần lên giấy trắng, mỗi lần in đúng 102 ô ấy. Có thể thu được hình vuông 101 nhân 101 với mọi ô đen trừ một ô ở góc không?
Một nhà ảo thuật đặt bộ bài đủ 52 lá thành một hàng và thông báo rằng sau 51 lần loại bài, chỉ còn lá Ba Chuồn. Mỗi lượt, một khán giả chọn số thứ tự hợp lệ; nhà ảo thuật được chọn đếm số đó từ đầu trái hay đầu phải rồi bỏ lá tương ứng. Lá Ba Chuồn phải ở vị trí ban đầu nào để nhà ảo thuật chắc chắn thành công?
Cho đường tròn $\omega$ tâm $O$ và hai điểm phân biệt $A,C$ trên đó. Với điểm $P$ bất kỳ trên $\omega$, khác $A,C$, gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $AP,CP$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $OXY$. Chứng minh vị trí của $H$ không phụ thuộc việc chọn $P$.
Có 100 ô liên tiếp, mỗi ô chứa một quân. Đổi hai quân ở hai ô kề nhau tốn 1 đô la; đổi hai quân mà giữa chúng có đúng ba quân khác thì miễn phí. Cần ít nhất bao nhiêu đô la để đảo ngược thứ tự tất cả các quân? Nhập số đô la.
Cho một nghìn số nguyên $a_1,\ldots,a_{1000}$. Viết các bình phương của chúng trên một vòng tròn. Tổng của 41 số liên tiếp bất kỳ trên vòng tròn chia hết cho $41^2$. Có thể kết luận mỗi $a_i$ đều chia hết cho 41 hay không?
Basil có vô hạn gạch $1\times1\times3$ và gạch hình chữ L (nguồn ký hiệu hình $\Gamma$), mỗi viên gồm ba khối lập phương đơn vị. Bạn ấy đã lấp đầy một hộp $m\times n\times k$ bằng các viên gạch ấy, với $m,n,k$ nguyên lớn hơn 1. Chứng minh có thể lấp đầy chính hộp đó chỉ bằng các viên chữ L.
Đa thức $P(x,y)$ thỏa với mọi số nguyên $n\ge0$, mỗi $P(n,y),P(x,n)$ hoặc là đa thức 0 hoặc có bậc không quá n. $P(x,x)$ có thể có bậc lẻ không? Cả sách và bản chính thức đều gồm n=0. Sách ghi “hằng số khác 0” tại chỗ bản chính thức ghi “đa thức 0”; ảnh hưởng của cách viết này được xét dưới đây.
Trong tam giác nhọn ABC, các điểm trong cạnh A′∈BC,B′∈CA,C′∈AB cho ba đường AA′,BB′,CC′ đồng quy tại P trong tam giác. Trong mỗi đường tròn đường kính là một đường ấy, kẻ dây qua P vuông góc đường kính. Ba dây bằng nhau. Chứng minh P là trực tâm ABC.
Có 100 đồng nhìn giống nhau: vàng 3 g, bạc 2 g, đồng 1 g, mỗi loại ít nhất một đồng. Dùng cân đĩa không quả cân ngoài, xác định loại mọi đồng trong không quá 101 lần cân.
Dãy dương tăng nghiêm $(a_i)_{i\in\mathbb Z}$ vô hạn hai phía. Với mỗi k dương, b_k là số nguyên nhỏ nhất chặn trên tỉ số tổng k số hạng liên tiếp bất kỳ với số lớn nhất trong chúng. Chứng minh hoặc b_k=k với mọi k, hoặc dãy b_k không đổi từ một lúc nào đó.
Điểm M trong tứ giác lồi ABCD cách đều hai đường AB,CD và cũng cách đều hai đường BC,AD. Diện tích tứ giác bằng $MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Chứng minh ABCD (a) nội tiếp đường tròn; (b) ngoại tiếp đường tròn.
Khối lập phương gồm $(2N)^3$ khối đơn vị bị xuyên bởi các kim song song cạnh, mỗi kim qua đúng 2 N khối. Mỗi khối đơn vị có ít nhất một kim xuyên. Tập kim chính quy nếu không hai kim qua cùng khối đơn vị. (a) Chứng minh có tập chính quy 2 N² kim dùng nhiều nhất hai hướng. (b) Tìm cỡ lớn nhất luôn bảo đảm có. Đề chính thức ghi “nhiều nhất hai hướng”; lời sách kém rõ hơn.
Một số số nguyên từ 1 đến n tô đỏ. Nếu a,b,c đỏ (không cần phân biệt) và $n\mid a(b-c)$ thì b=c. Chứng minh có không quá $\varphi(n)$ số đỏ, với $\varphi(n)$ đếm số nguyên dương không quá n nguyên tố cùng nhau với n. Định nghĩa chính thức dùng “không quá n”; sách ghi “nhỏ hơn n”, khác tại n=1.
Một nhà ảo thuật đặt bộ bài đủ 52 lá thành một hàng và thông báo rằng sau 51 lần loại bài, chỉ còn lá Ba Chuồn. Mỗi lượt, một khán giả chọn số thứ tự hợp lệ; nhà ảo thuật được chọn đếm số đó từ đầu trái hay đầu phải rồi bỏ lá tương ứng. Lá Ba Chuồn phải ở vị trí ban đầu nào để nhà ảo thuật chắc chắn thành công?
