Một tam giác vuông có một góc bằng $30^\circ$. Chứng minh rằng tam giác đó có một đường phân giác ngắn hơn một nửa một đường phân giác khác. Lưu ý: câu trên giữ cách viết của bản Việt được cung cấp; bản chính thức yêu cầu một đường phân giác dài bằng đúng một nửa đường phân giác khác. Sự khác biệt được phân tích trong lời giải.
Có một con vi khuẩn trong một ô của lưới vuông $10\times10$. Ở mỗi bước, một con vi khuẩn đang có di sang ô liền kề chung cạnh rồi phân thành hai con, cả hai ở ô mới. Hỏi liệu có khi nào số vi khuẩn trên mọi ô như nhau?
Ta gọi một số nguyên dương là “tốt” nếu nó chỉ có các chữ số 0 hoặc 1. Giả sử hai số tốt có tích cũng là một số tốt. Liệu tổng các chữ số của tích luôn bằng tích của tổng các chữ số hai thừa số không?
Cho lục giác $AB^{\prime} CA^{\prime} BC^{\prime}$ thỏa mãn $ABC$ là tam giác đều, ba góc $A^{\prime} BC^{\prime},C^{\prime} AB^{\prime},B^{\prime} CA^{\prime}$ lớn hơn $120^\circ$, và $AB^{\prime}=AC^{\prime}$, $BA^{\prime}=BC^{\prime}$, $CA^{\prime}=CB^{\prime}$. Chứng minh độ dài các đoạn $AB^{\prime},BC^{\prime},CA^{\prime}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Các số nguyên từ 1 đến 100 được tô ba màu: 50 số đỏ, 25 số vàng, 25 số lục. Các số đỏ và vàng có thể chia thành 25 bộ ba, mỗi bộ hai số đỏ, một số vàng nằm giữa hai số đỏ. Điều tương tự thực hiện được với đỏ và lục. Liệu luôn chia được cả 100 số thành 25 bộ bốn, mỗi bộ hai số đỏ, một số vàng, một số lục, và các số vàng, lục nằm giữa hai số đỏ không?
Cho $X$ là tập số nguyên có thể phân hoạch thành $N$ cấp số cộng tăng, rời nhau, vô hạn theo hai hướng, và không thể phân hoạch thành ít hơn $N$ cấp số cộng như thế. Liệu cách phân hoạch thành $N$ cấp số cộng có duy nhất với mọi $X$ như thế nếu (a) $N=2$; (b) $N=3$? Điểm gốc: mỗi phần 4 điểm.
