ITOT 44 mùa Thu 2022 · THPT · O (Cơ bản)

Tìm số tự nhiên $m$ lớn nhất sao cho $m!\cdot2022!$ bằng giai thừa của một số nguyên. Nêu giá trị chính xác bằng ký hiệu giai thừa và chứng minh tính lớn nhất.

Một hình tròn lớn nội tiếp hình thoi. Hai hình tròn nhỏ tiếp xúc với các cạnh hình thoi và hình tròn lớn như hình. Chứng minh hình tạo bởi bốn đường nét đứt qua các tiếp điểm với cạnh hình thoi như trong hình là hình vuông.

Trên một đường thẳng có 2022 điểm cách đều nhau, một nửa xanh, một nửa đỏ. Tổng độ dài các đoạn có đầu trái xanh, đầu phải đỏ có thể bằng tổng độ dài các đoạn có đầu trái đỏ, đầu phải xanh không? Hai đầu không nhất thiết là hai điểm liền kề.

Cho một tam giác nhọn không cân. Mỗi bước có thể cắt một tam giác đang có theo một đường trung tuyến thành hai tam giác. Sau hữu hạn lần cắt, có thể thu được tất cả tam giác đều là tam giác cân không?

Cho bảng $2N\times2N$ phủ bởi các miếng domino $1\times2$ không chồng lên nhau. Một quân cờ đi qua mọi ô đúng một lần, mỗi bước sang ô chung cạnh. Gọi một bước là “bước nhảy” nếu đi giữa hai ô cùng một domino. Hỏi (a) số lớn nhất; (b) số nhỏ nhất các bước nhảy có thể là bao nhiêu? Điểm gốc: (a) 1 điểm, (b) 4 điểm.