Một trăm người bạn bao gồm cả Alice và Bob sống trong vài thành phố. Alice nhận ra rằng khi cộng tất cả khoảng cách từ thành phố của cô ấy đến 99 người bạn còn lại thì được 1000 km. Nếu Bob cũng làm như cô ấy thì tối đa Bob nhận được bao nhiêu? (Giả sử tất cả các thành phố là các điểm trên mặt phẳng. Nếu hai người cùng ở một thành phố thì khoảng cách của họ là 0.)
Cho dãy $1,19,199,1999,\ldots$, người ta làm các thẻ cá nhân và viết lên mỗi thẻ một số trong dãy, mỗi số lên một thẻ. (a) Liệu có thể chọn ra ít nhất ba thẻ sao cho tổng các số trên chúng là một số trong đó ngoại trừ một chữ số thì tất cả các chữ số còn lại là 2? (b) Giả sử có thể chọn một vài thẻ sao cho tổng các số trên chúng là một số trong đó ngoại trừ một chữ số thì tất cả các chữ số còn lại là 2. Chữ số khác 2 có thể là gì? Điểm gốc: (a) 2 điểm, (b) 3 điểm.
Baron Munchausen nói rằng anh ta có thể vẽ một đa giác và một điểm bên trong đa giác đó sao cho bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm này đều chia đa giác thành ba đa giác khác. Liệu anh ta có thể làm được điều đó hay không?
Cho số nguyên $n>1$. Một quân xe nằm trên một ô vuông của bàn cờ trắng, vô hạn. Mỗi bước, quân xe có thể đi dọc hoặc ngang đúng $n$ ô, tô những ô quân xe đã đi qua bằng màu đen. Sau một vài bước đi mà không trùng lên những ô đã đi, quân xe trở lại vị trí ban đầu. Các ô màu đen tạo thành một đường đóng. Chứng minh rằng số các ô trắng trong đường đóng đó chia cho $n$ dư 1.
Bên ngoài hình cửu giác đều $ABCDEFGHI$, ta tạo các tam giác $XAB,YBC,ZCD,TDE$. Biết rằng các góc $AXB,BYC,CZD,DTE$ đều bằng $20^\circ$, và $\angle XAB+60^\circ=\angle YBC+40^\circ=\angle ZCD+20^\circ=\angle TDE$. Chứng minh $X,Y,Z,T$ nằm trên cùng một đường tròn.
Peter cộng hai số nguyên dương $M,N$ với nhau và nhận ra rằng tổng các chữ số của số nhận được bằng tổng các chữ số của $N$. Sau đó, anh ấy tiếp tục cộng $M$ vào số nhận được thêm lần nữa, lần nữa, lần nữa, … Liệu có chắc chắn rằng đến một lúc nào đó Peter sẽ lại nhận một số có cùng tổng các chữ số với $N$ không?
Biết rằng trong một số tờ tiền có mệnh giá đôi một khác nhau có đúng $N$ tờ giả. Trong mỗi bước kiểm tra, ta có thể mang một số tờ tiền đi kiểm tra và máy sẽ tính tổng số tiền thật trong đó. Chứng minh rằng sau $N$ bước, ta có thể xác định tất cả các tờ tiền giả nếu (a) $N=2$; (b) $N=3$. Điểm gốc: (a) 3 điểm, (b) 8 điểm.
