ITOT 43 mùa Xuân 2022 - THPT bảng O - luyện tập cộng điểm

Peter bắt đầu từ một số nguyên dương, nhân với 5, rồi tiếp tục nhân kết quả với 5, tổng cộng $k$ lần. Số ban đầu và mọi kết quả đều không chứa chữ số 7 trong biểu diễn thập phân. Chứng minh tồn tại số nguyên dương có thể liên tiếp nhân với 2 tổng cộng $k$ lần mà số ban đầu và mọi kết quả đều không chứa chữ số 7. (4 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 24). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Có tám đồng xu nhìn giống nhau, gồm năm đồng thật và ba đồng giả. Các đồng thật cùng khối lượng, các đồng giả cùng khối lượng nhỏ hơn. Cáo đưa Pinocchio ba đồng. Bạn ấy có thể kiểm tra cả ba có đều thật hay không bằng không quá hai lần cân trên cân hai đĩa không có quả cân không? (4 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Cho số nguyên dương $n$. Gọi $(a_1,\ldots,a_n)$ là dãy thú vị nếu mỗi $a_i=i$ hoặc $i+1$. Dãy chẵn hay lẻ tùy theo tính chẵn lẻ của $a_1+\cdots+a_n$. Alice ghi tích các số hạng của mọi dãy thú vị lẻ; Bob làm tương tự với mọi dãy thú vị chẵn. Tổng các số trong vở ai lớn hơn, và lớn hơn bao nhiêu, theo $n$? (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Alice, Bob ở hai phòng khác nhau, mỗi người chia bảng $20\times21$ thành các tromino $1\times3$ hoặc $3\times1$. Sau đó so sánh; Alice trả Bob một đô-la cho mỗi tromino nằm đúng cùng các ô trong hai cách chia. Số đô-la lớn nhất Bob chắc chắn nhận được là bao nhiêu? (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$ tâm $O$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ lần thứ hai tại $M,N,K,L$, tương ứng. Chứng minh các đường thẳng $MN,KL$ và các tiếp tuyến của $\omega$ tại $A,C$ cùng tiếp xúc một đường tròn. (6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.