Số $2021=43\cdot47$ là một hợp số. Chứng minh rằng nếu điền một số lượng bất kì chữ số 8 vào giữa 20 và 21 thì số nhận được vẫn là một hợp số. (4 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 52). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 30), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Trong phòng có một số bạn nhỏ và một chiếc túi chứa 1000 viên kẹo. Các bạn lần lượt tới túi theo một thứ tự nào đó cho tới khi không còn ai trong phòng. Mỗi bạn lấy số kẹo hiện có chia cho số bạn còn trong phòng, làm tròn nếu kết quả không nguyên, lấy đúng số kẹo đã làm tròn rồi rời phòng. Các bạn nam luôn làm tròn lên, các bạn nữ luôn làm tròn xuống. Chứng minh tổng số kẹo các bạn nam nhận được không phụ thuộc thứ tự tới túi. (5 điểm)
Cho tam giác đều $ABC$. Lấy điểm $E$ nằm trên cạnh $AB$, điểm $F$ nằm trên cạnh $AC$ và điểm $K$ nằm trên đường thẳng $AB$ (ngoài cạnh $AB$) sao cho $AE=CF=BK$. Điểm $P$ là trung điểm đoạn $EF$. Chứng minh $\angle KPC$ là góc vuông. (6 điểm)
Một du khách thăm hòn đảo có 50 người bản địa đứng thành vòng tròn. Mỗi người nói hai số: số thứ nhất là tuổi người bên trái, số thứ hai là tuổi người bên phải. Mỗi người thuộc một trong hai kiểu: người nói thật đưa cả hai số chính xác; người nói dối giảm một số đi 1 và tăng số còn lại thêm 1. Sau khi nhận tất cả câu trả lời, có luôn xác định được từng người thuộc kiểu nào không? (7 điểm)
Ở giữa mỗi ô của lưới vuông $M$ có một bóng đèn nhỏ như một điểm, ban đầu đều tắt. Trong một lượt, chọn đường thẳng không đi qua bóng đèn nào sao cho ở một phía của đường thẳng tất cả bóng đèn đều tắt, rồi bật tất cả chúng. Mỗi lượt phải bật ít nhất một bóng. Nhiệm vụ là bật hết đèn với số lượt nhiều nhất. Tìm số lượt lớn nhất nếu:
Có đoàn 100 du khách tới khách sạn có các phòng đơn đánh số $1,2,\ldots,n$. Ngoài $k$ phòng đang sửa chữa mà họ không biết số, các phòng còn lại đều trống. Mỗi khách lần lượt kiểm tra phòng theo một thứ tự có thể khác nhau giữa các khách, rồi vào phòng đầu tiên không sửa chữa. Họ không biết phòng có người trước khi tự kiểm tra, nhưng kiểm tra phòng người khác đang nghỉ là điều cấm kị. Họ phải thống nhất chiến lược trước. Với mỗi $k$, tìm $n$ nhỏ nhất bảo đảm chọn phòng phù hợp. (10 điểm)
Cho $p,q$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Một con ếch nhảy trên trục số nguyên từ 0, mỗi bước sang phải $p$ đơn vị hoặc sang trái $q$ đơn vị. Sau một số lượt nhảy, ếch trở về vị trí ban đầu. Chứng minh với mọi số nguyên dương $d<p+q$, có hai vị trí ếch đã tới cách nhau đúng $d$. Xét hành trình có ít nhất một bước nhảy. (12 điểm)
Liệu tích của 9 số nguyên dương liên tiếp có thể bằng tổng của 9 số nguyên dương liên tiếp (hai bộ không nhất thiết giống nhau) được hay không? (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Chấm luyện tập: cộng điểm cả năm câu (tối đa 24). Cách chấm ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16); cộng các ý trong từng câu trước khi chọn ba câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút, theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Gọi $AX,BZ$ lần lượt là đường cao và $AY,BT$ là phân giác của tam giác $ABC$. Biết rằng $\angle XAY=\angle ZBT$, liệu có thể khẳng định tam giác $ABC$ là tam giác cân hay không? (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Maria có 4 quả cân bề ngoài giống nhau với khối lượng mỗi quả cân là 1001 g,1002 g,1004 g và 1005 g. Bằng một chiếc cân đĩa, liệu Maria có thể chắc chắn xác định cân nặng của mỗi quả cân sau 4 lần cân được hay không? Cân cho biết bên nào nặng hơn hoặc hai bên bằng nhau; có thể chọn lần cân sau dựa trên kết quả trước. (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Có một số quân domino trong lưới ô vuông sao cho mỗi quân domino bao phủ đúng 2 ô cạnh nhau và không có hai quân domino nào chung cạnh hoặc đỉnh. Ô dưới cùng bên trái và ô trên cùng bên phải của lưới không bị phủ bởi bất kể quân domino nào. Người ta đặt một quân cờ vào ô dưới cùng bên trái. Mỗi lần chỉ có thể di chuyển quân cờ tới một ô trống chung cạnh bên trên hoặc bên phải của ô quân cờ. Hỏi liệu có thể luôn tìm được cách di chuyển quân cờ tới ô trên cùng bên phải không nếu kích thước của lưới là:
Trong phòng có một số trẻ em và túi 1000 viên kẹo. Theo một thứ tự nào đó, mỗi em chia số kẹo hiện có cho số trẻ hiện còn trong phòng, làm tròn nếu cần, lấy đúng số kẹo đó rồi rời phòng. Các bạn nam luôn làm tròn lên, các bạn nữ luôn làm tròn xuống. Chứng minh tổng số kẹo các bạn nam nhận không phụ thuộc thứ tự. (4 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 53). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 31), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho với mọi cặp số thực $x,y$, có các số thực khác 0 $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$x=a_1+\cdots+a_n,\qquad y=\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}?$$
(5 điểm)
Cho $M$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $\omega$ qua $A$, tiếp xúc $BC$ tại $M$, cắt lại $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm $BE,CD$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $MXY$ tiếp xúc $\omega$. (5 điểm)
Có một hàng $100N$ bánh mì kẹp thịt. Trong một thao tác, chàng trai ăn chiếc đầu ở một trong hai đầu hàng; trong một thao tác, mèo ăn thịt của một chiếc bánh còn lại hoặc không làm gì. Mỗi lượt chàng trai làm 100 thao tác, mèo làm một thao tác; hai bên luân phiên, chàng trai đi trước. Chàng trai thắng nếu chiếc bánh cuối mình ăn còn thịt. Có thể bảo đảm thắng với mọi số nguyên dương $N$, bất kể mèo chơi thế nào không? (8 điểm)
Có đoàn 100 du khách tới khách sạn có các phòng đơn đánh số $1,2,\ldots,n$. Ngoài $k$ phòng đang sửa chữa mà họ không biết số, các phòng còn lại đều trống. Mỗi khách lần lượt kiểm tra phòng theo một thứ tự có thể khác nhau giữa các khách, rồi vào phòng đầu tiên không sửa chữa. Họ không biết phòng có người trước khi tự kiểm tra, nhưng kiểm tra phòng người khác đang nghỉ là điều cấm kị. Họ phải thống nhất chiến lược trước. Với mỗi $k$, tìm $n$ nhỏ nhất bảo đảm chọn phòng phù hợp. (8 điểm)
Tìm ít nhất một số thực $A$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, khoảng cách từ $\lceil A^n\rceil$ tới số chính phương của một số nguyên gần nhất đúng bằng 2. Ở đây $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$. (10 điểm)
Cho số nguyên $n>2$. Peter muốn vẽ $n$ cung tròn đôi một không giao nhau, mỗi cung dài $\alpha$, trên các đường tròn lớn của mặt cầu đơn vị. Chứng minh: (a) thực hiện được với mọi $\alpha\lt \pi+2\pi/n$; (6 điểm) (b) không thực hiện được với mọi $\alpha>\pi+2\pi/n$. (7 điểm) Độ dài cung dương; đầu mút cũng thuộc cung.
(a) Một ngũ giác lồi được chia thành ba tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau ở phần trong. Trọng tâm ba tam giác có thể thẳng hàng không? (2 điểm) (b) Câu hỏi tương tự cho ngũ giác không lồi. (2 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 24). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
