Alice liệt kê một dãy số cách đều gồm $n>2$ số khác nhau. Bob liệt kê các số nghịch đảo của chúng theo một thứ tự nào đó và cũng nhận được một dãy cách đều. Hỏi $n$ có thể bằng bao nhiêu? Việc lấy nghịch đảo đòi hỏi mọi số ban đầu khác 0, điều được ghi rõ trong đề gốc chính thức. (5 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 56). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 30), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Có 8 mảnh ghép $1\times3$, mỗi ô $1\times1$ được tô xám hoặc trắng như hình. Có thể chuyển các mảnh theo hướng và khoảng cách tùy ý nhưng không được xoay,lật hoặc để chồng lên nhau. Có thể làm cho toàn bộ phần trắng hợp thành một đa giác có biên là đường khép kín không tự cắt, và phần xám cũng vậy không? (6 điểm)
Cho tam giác vuông có cạnh huyền dài 1 đơn vị. Đường thẳng qua hai tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với hai cạnh góc vuông cắt đường tròn ngoại tiếp thành một dây cung. Hỏi dây cung dài bao nhiêu? (7 điểm)
Ban đầu trên bảng có chữ số 7. Alice,Bob thay phiên nhau, Alice đi trước. Mỗi lượt chèn một chữ số vào bên trái (khác 0 nếu chèn đầu), giữa hai chữ số bất kì, hoặc bên phải. Ai tạo được số chính phương sau lượt mình thì thắng. Có người nào có chiến thuật chắc chắn thắng không? (8 điểm)
Hình bình hành $ABCD$ được chia thành hai tam giác bằng nhau bởi $BD$. Lục giác đều trong $ABD$ có hai cạnh liên tiếp nằm trên $AB,AD$ và một đỉnh trên $BD$. Lục giác đều khác trong $BCD$ có hai đỉnh liên tiếp trên $BC,CD$ và một cạnh trên $BD$. Hỏi lục giác nào có diện tích lớn hơn? (9 điểm)
Đề gốc chính thức ghi rõ $\angle A=120^\circ$; bản Việt được cung cấp thiếu dữ kiện góc này. Nó cũng suy ra từ việc hai cạnh liên tiếp của lục giác đều nằm theo $AB,AD$ tại $A$.
Với số thực $x$, phần nguyên $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không lớn hơn $x$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $a_1,\ldots,a_n$,
$$\left\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\right\rfloor\ge a_1+\cdots+a_n.$$
(9 điểm)
Có 20 bánh mặn và 20 bánh ngọt xếp thành hàng theo thứ tự tùy ý. Alice,Bob luân phiên lấy một bánh ở một trong hai đầu, Alice đi trước. Alice muốn cuối cùng lấy đúng 10 bánh mỗi loại,Bob muốn ngăn. Alice có luôn đạt mục tiêu không? (12 điểm)
