Liệu tích của 9 số nguyên dương liên tiếp có thể bằng tổng của 9 số nguyên dương liên tiếp (hai bộ không nhất thiết giống nhau) được hay không? (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Chấm luyện tập: cộng điểm cả năm câu (tối đa 24). Cách chấm ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16); cộng các ý trong từng câu trước khi chọn ba câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút, theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Gọi $AX,BZ$ lần lượt là đường cao và $AY,BT$ là phân giác của tam giác $ABC$. Biết rằng $\angle XAY=\angle ZBT$, liệu có thể khẳng định tam giác $ABC$ là tam giác cân hay không? (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Maria có 4 quả cân bề ngoài giống nhau với khối lượng mỗi quả cân là 1001 g,1002 g,1004 g và 1005 g. Bằng một chiếc cân đĩa, liệu Maria có thể chắc chắn xác định cân nặng của mỗi quả cân sau 4 lần cân được hay không? Cân cho biết bên nào nặng hơn hoặc hai bên bằng nhau; có thể chọn lần cân sau dựa trên kết quả trước. (4 điểm)
Minh họa do người biên soạn tạo; không bổ sung giả thiết toán học.
Có một số quân domino trong lưới ô vuông sao cho mỗi quân domino bao phủ đúng 2 ô cạnh nhau và không có hai quân domino nào chung cạnh hoặc đỉnh. Ô dưới cùng bên trái và ô trên cùng bên phải của lưới không bị phủ bởi bất kể quân domino nào. Người ta đặt một quân cờ vào ô dưới cùng bên trái. Mỗi lần chỉ có thể di chuyển quân cờ tới một ô trống chung cạnh bên trên hoặc bên phải của ô quân cờ. Hỏi liệu có thể luôn tìm được cách di chuyển quân cờ tới ô trên cùng bên phải không nếu kích thước của lưới là:
