ITOT 45 mùa Xuân 2024 · THCS · A (Nâng cao)

Có12 học sinh có sức mạnh đôi một khác nhau. Giáo viên chia thành hai nhóm sáu người10 lần, mỗi lần một cách chia khác nhau. Có thể cả10 trận kéo co đều hòa, tức hai nhóm có tổng sức mạnh bằng nhau mỗi lần không?

Chứng minh trong các đỉnh của một cửu giác lồi bất kỳ có ba đỉnh tạo thành tam giác tù, mà không cạnh nào của tam giác là cạnh cửu giác.

Hai người luân phiên bốc từ đống100 viên. Lượt1 người thứ nhất bốc1; lượt2 người thứ hai bốc1 hoặc2; lượt3 người thứ nhất bốc1,2 hoặc3; cứ thế mỗi lượt bốc không quá số thứ tự lượt. Ai bốc viên cuối thắng. Người nào có chiến thuật chắc thắng?

Tom chọn phân số dương tối giản$x=m/n$. Mỗi lượt bạn chọn phân số dương$y\lt 1$, Tom chỉ cho biết tử số của$x+y$ sau khi rút gọn. Làm sao xác định chắc chắn$x$ bằng hai lượt?

Có chín cột thẳng đứng xếp hàng, các thanh ngang nối hai cột kề nhau ở độ cao đôi một khác nhau. Bọ bò lên, gặp thanh ngang thì qua cột bên và tiếp tục lên. Bắt đầu cột1 thì tới đỉnh cột9. Có luôn bỏ được một thanh để bọ từ cột1 tới đỉnh cột5 không? Cách phát biểu Việt trong nguồn hỏi có đường từ dưới đất tới cột5; ở đây chứng minh cả yêu cầu chặt hơn của bản Anh là vẫn xuất phát cột1.

Trong ví dụ nguồn, đường ban đầu liền; bỏ thanh thứ ba gặp trên đường cho đường đứt.

Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$, lấy$M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cung$BAC,CBA,BC,AC$; cung hai chữ là cung không chứa đỉnh còn lại. Đường tròn bàng tiếp góc$A$ tiếp xúc$BC$ tại$A_1$ và phần kéo dài$AC,AB$. Đường tròn bàng tiếp góc$B$ tiếp xúc$AC$ tại$B_1$ và phần kéo dài$BA,BC$. Biết$A_1$ thuộc đoạn$NP$. Chứng minh$B_1$ thuộc đoạn$MQ$.

Viết99 số thực đôi một khác nhau lên99 lá bài, tổng là số vô tỉ. Một cách xếp gọi là không may mắn nếu với mọi$k=1,\ldots,99$, tổng$k$ lá đầu đều vô tỉ. Số cách xếp không may mắn ít nhất có thể là bao nhiêu?