ITOT 43 mùa Xuân 2022 - THPT bảng A - luyện tập cộng điểm

Trong các số $n,2n,3n,\ldots,9n$, với $n$ nguyên dương, số lượng chữ số đầu tiên khác nhau nhỏ nhất có thể là bao nhiêu? (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 57). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 28), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Trên giấy trắng, vẽ hai trục tọa độ vuông góc $x,y$ có cùng tỷ lệ và đồ thị $y=f(x)$. Sau đó xóa các điểm đánh dấu trên trục $x$ và xóa trục $y$. Chỉ dùng bút chì, thước thẳng và compa, hãy dựng lại trục $y$ trong hai trường hợp: (a) $f(x)=3^x$; (b) $f(x)=\log_a x$, với hằng số chưa biết $a>1$. (4+4 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Hai tam giác chồng lên nhau như hình, tạo thành ngôi sao sáu cánh. Đường tròn nội tiếp sáu tam giác nhỏ phía ngoài có bán kính bằng nhau. Chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ban đầu có bán kính bằng nhau. (8 điểm)

Một quân xe đi trên bảng $n\times n$, mỗi bước sang ô chung cạnh, thăm mỗi ô đúng một lần. Bob điền các số 1 đến $n^2$ theo thứ tự thăm. Gọi $M$ là hiệu tuyệt đối lớn nhất giữa hai số ở hai ô chung cạnh. Giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ là bao nhiêu? (8 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Một đa thức bậc 2022 có hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 có thể có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0,1)$? (8 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Có 300 nhà thông thái và 25 màu mũ. Mỗi người đội một mũ, nhìn thấy mũ của mọi người khác nhưng không nhìn mũ mình. Họ biết số mũ thuộc 25 màu đôi một khác nhau. Mọi người phải đồng thời đoán màu mũ mình. Có thể thống nhất trước chiến thuật bảo đảm ít nhất 150 người đoán đúng không? (8 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Một tàu vũ trụ cách mặt phẳng ranh giới giữa hai nửa không gian khoảng $a>0$. Phi hành đoàn biết $a$ nhưng không biết hướng mặt phẳng. Tàu có thể đi theo bất kỳ đường nào trong không gian, ghi lại quãng đường đã đi và có cảm biến báo khi chạm mặt phẳng. Có thể bảo đảm chạm ranh giới với tổng quãng đường không quá (a) $14a$; (b) $13a$ không? (6+6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.