ITOT 44 mùa Thu 2022 · THPT · A (Nâng cao)

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương không vượt quá 100. Tìm nghiệm hữu tỉ lớn nhất có thể có của phương trình $ax^2+bx+c=0$.

Cho hai số nguyên tố cùng nhau $p,q\ge2$ sao cho $|p-q|>1$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $\operatorname{BCNN}(p+n,q+n)\lt \operatorname{BCNN}(p,q)$.

Cho hai đường tròn đồng tâm $\omega,\Omega$. Dây cung $AD$ của $\Omega$ là tiếp tuyến của $\omega$. Bên trong hình nhỏ hơn được giới hạn bởi $AD$ và $\Omega$, lấy điểm $P$ bất kỳ. Tiếp tuyến từ $P$ đến $\omega$ cắt cung lớn $AD$ của $\Omega$ tại $B,C$. Đoạn $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh đoạn $PQ$ đi qua trung điểm của $AD$.

Một bàn cờ hình vuông hữu hạn có cửa đóng giữa mỗi hai ô chung cạnh. Con bọ bắt đầu tại một ô. Khi qua cửa đóng, nó mở cửa theo hướng đi và để nguyên; cửa đã mở chỉ cho đi theo hướng đã mở lần đầu. Chứng minh tại mọi thời điểm con bọ đều có cách trở về ô xuất phát.

Một cấp số cộng nguyên dương vô hạn có hai số hạng cùng tổng các chữ số. Liệu luôn tồn tại một số hạng khác trong cấp số cộng có cùng tổng các chữ số ấy không?

Biết rằng trong một số tờ tiền có mệnh giá đôi một khác nhau có đúng $N$ tờ giả. Trong mỗi bước kiểm tra, ta có thể mang một số tờ tiền đi kiểm tra và máy sẽ tính tổng số tiền thật trong đó. Chứng minh rằng sau $N$ bước, ta có thể xác định tất cả các tờ tiền giả nếu (a) $N=2$; (b) $N=3$. Điểm gốc: (a) 2 điểm, (b) 7 điểm.

Có $N$ người bạn và một bánh pizza hình tròn. Có thể cắt bằng không quá 100 vết thẳng, không di chuyển miếng bánh cho đến khi miếng ấy được cắt rời, để mỗi người nhận phần bánh có diện tích như nhau không, nếu (a) $N=201$; (b) $N=400$? Bản gốc chính thức quy định không di chuyển các phần trước khi cắt xong và cho phép mỗi người nhận nhiều mảnh; mục biên soạn cũng xử lý quy định chặt hơn này.