Một tam giác vuông có một góc bằng $30^\circ$. Chứng minh rằng tam giác đó có một đường phân giác ngắn hơn một nửa một đường phân giác khác. Lưu ý: câu trên giữ cách viết của bản Việt được cung cấp; bản chính thức yêu cầu một đường phân giác dài bằng đúng một nửa đường phân giác khác. Sự khác biệt được phân tích trong lời giải.
Có một con vi khuẩn trong một ô của lưới vuông $10\times10$. Ở mỗi bước, một con vi khuẩn đang có di sang ô liền kề chung cạnh rồi phân thành hai con, cả hai ở ô mới. Hỏi liệu có khi nào số vi khuẩn trên mọi ô như nhau?
Ta gọi một số nguyên dương là “tốt” nếu nó chỉ có các chữ số 0 hoặc 1. Giả sử hai số tốt có tích cũng là một số tốt. Liệu tổng các chữ số của tích luôn bằng tích của tổng các chữ số hai thừa số không?
Cho lục giác $AB^{\prime} CA^{\prime} BC^{\prime}$ thỏa mãn $ABC$ là tam giác đều, ba góc $A^{\prime} BC^{\prime},C^{\prime} AB^{\prime},B^{\prime} CA^{\prime}$ lớn hơn $120^\circ$, và $AB^{\prime}=AC^{\prime}$, $BA^{\prime}=BC^{\prime}$, $CA^{\prime}=CB^{\prime}$. Chứng minh độ dài các đoạn $AB^{\prime},BC^{\prime},CA^{\prime}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Các số nguyên từ 1 đến 100 được tô ba màu: 50 số đỏ, 25 số vàng, 25 số lục. Các số đỏ và vàng có thể chia thành 25 bộ ba, mỗi bộ hai số đỏ, một số vàng nằm giữa hai số đỏ. Điều tương tự thực hiện được với đỏ và lục. Liệu luôn chia được cả 100 số thành 25 bộ bốn, mỗi bộ hai số đỏ, một số vàng, một số lục, và các số vàng, lục nằm giữa hai số đỏ không?
Cho $X$ là tập số nguyên có thể phân hoạch thành $N$ cấp số cộng tăng, rời nhau, vô hạn theo hai hướng, và không thể phân hoạch thành ít hơn $N$ cấp số cộng như thế. Liệu cách phân hoạch thành $N$ cấp số cộng có duy nhất với mọi $X$ như thế nếu (a) $N=2$; (b) $N=3$? Điểm gốc: mỗi phần 4 điểm.
Có $N$ nhân viên thích bừa bộn trong văn phòng, mỗi người có một đống rác trên bàn. Tất cả nhân viên lần lượt rời văn phòng đi ăn trưa (mỗi người chỉ rời đi sau khi người liền trước trở về). Khi một nhân viên rời đi, tất cả người còn lại đặt một nửa số rác trên bàn mình lên bàn người đó. Liệu có thể xảy ra trường hợp sau khi tất cả đã ăn trưa trở về thì lượng rác ở bàn mỗi người vẫn như trước bữa trưa hay không, nếu (a) $N=2$; (b) $N=10$? Điểm gốc: (a) 1 điểm, (b) 3 điểm.
Có 2023 xúc xắc trên bàn. Với 1 đô la, ta có thể chọn một viên và đặt bất kỳ mặt nào trong bốn mặt bên của nó lên trên. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu đô la để chắc chắn luôn có cách làm cho số trên tất cả mặt trên của 2023 xúc xắc như nhau? Các mặt có số 1,2,3,4,5,6 và tổng hai mặt đối nhau luôn là 7.
Xét tổng $Q(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor x/2\rfloor+\lfloor x/3\rfloor+\cdots+\lfloor x/10000\rfloor$ với $x$ bất kỳ. Tính $Q(2023)-Q(2022)$. Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Cho bảng vuông $5\times5$, mỗi ô có một đồng xu nhìn như nhau. Hai đồng là giả và nặng bằng nhau. Các đồng thật nặng hơn đồng giả và cũng nặng bằng nhau. Các đồng giả ở những ô vuông chỉ có chung một đỉnh. Liệu có thể chắc chắn xác định được (a) 13 đồng thật; (b) 15 đồng thật; (c) 17 đồng thật trong một lần cân duy nhất trên cân thăng bằng không có quả cân? Điểm gốc: (a) 2 điểm, (b) 3 điểm, (c) 2 điểm.
Cho hai dãy chỉ gồm chữ $A,B$, mỗi dãy có100 chữ. Mỗi bước được chèn một số tùy ý chữ giống nhau vào một vị trí, hoặc bỏ một số tùy ý chữ giống nhau liên tiếp. Chứng minh có thể biến dãy này thành dãy kia sau nhiều nhất100 bước.
Tam giác $ABC$ có chu vi1. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc cạnh $BC$ và phần kéo dài của $AB,AC$ theo các tia $AB,AC$ tại $P,Q$. Đường thẳng qua trung điểm $AB,AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ tại $X,Y$. Tính $XY$.
Cho số nguyên $h>1$. Một phân số dương, không nhất thiết tối giản, gọi là tốt nếu tử và mẫu dương có tổng bằng$h$. Gọi $h$ đáng chú ý nếu mọi phân số dương có mẫu nhỏ hơn$h$ đều biểu diễn được bằng các phân số tốt, không nhất thiết phân biệt, chỉ dùng phép cộng và trừ. Chứng minh $h$ đáng chú ý khi và chỉ khi là số nguyên tố.
Trên đảo có tắc kè hoa với năm màu. Khi một con cắn con khác, chỉ con bị cắn đổi màu theo quy tắc cố định chỉ phụ thuộc hai màu hiện tại. Biết2023 con ban đầu màu đỏ có cách lần lượt cắn nhau, mỗi lần một con cắn một con khác trong nhóm, để tất cả thành màu lam. Tìm$k$ nhỏ nhất bảo đảm rằng$k$ con ban đầu màu đỏ cũng có cách cắn nhau để tất cả thành màu lam theo cùng quy tắc.
Ví dụ quy tắc có thể là: con đỏ cắn con xanh lá thì con bị cắn thành lam; con xanh lá cắn con đỏ thì con bị cắn vẫn đỏ; con đỏ cắn con đỏ thì con bị cắn thành vàng. Những quy tắc khác cũng có thể xảy ra.
Có 2023 xúc xắc trên bàn. Với 1 đô la, chọn một viên và đặt bất kỳ mặt nào trong bốn mặt bên của nó lên trên. Cần ít nhất bao nhiêu đô la để chắc chắn luôn làm cho số trên tất cả 2023 mặt trên như nhau? Các mặt mang số 1 đến 6, hai mặt đối nhau có tổng bằng 7.
