Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi số nguyên tố $p$ thỏa mãn $2\lt p\lt n$, số $n-p$ cũng nguyên tố. (4 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 60). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 32), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Chứng minh trong mọi tứ giác lồi có thể đặt ba bản sao của chính nó, mỗi bản sao có mọi độ dài bằng một nửa ban đầu, sao cho chúng không chồng phần trong lên nhau. Có thể chung điểm biên. (7 điểm)
Một số ô của bảng $100\times100$ được tô đen. Mỗi hàng hoặc cột có ô đen đều chứa số lẻ ô đen. Các ô đen ở giữa của các hàng khác nhau thuộc các cột khác nhau; các ô đen ở giữa của các cột khác nhau thuộc các hàng khác nhau. (a) Chứng minh có một ô đồng thời ở giữa các ô đen của hàng và cột chứa nó. (5 điểm) (b) Có phải mọi ô đen ở giữa của một hàng đều ở giữa các ô đen của cột chứa nó không? (5 điểm)
Hai tam giác chồng lên nhau như hình, tạo thành ngôi sao sáu cánh. Đường tròn nội tiếp sáu tam giác nhỏ phía ngoài có bán kính bằng nhau. Chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ban đầu có bán kính bằng nhau. (10 điểm)
Có 21 huy chương:7 vàng,7 bạc,7 đồng. Đúng một huy chương bị lỗi. Huy chương vàng lỗi nhẹ hơn huy chương vàng chuẩn; huy chương đồng lỗi nặng hơn huy chương đồng chuẩn; huy chương bạc lỗi có thể nhẹ hoặc nặng hơn huy chương bạc chuẩn. Các huy chương chuẩn cùng kim loại nặng bằng nhau. Hãy tìm huy chương lỗi bằng ba lượt cân hai đĩa không có quả cân. (10 điểm)
Một đa giác lồi có thể lát bằng các hình vuông cạnh 1 và tam giác đều cạnh 1 theo đúng $p$ cách khác nhau, với $p$ nguyên tố. Chứng minh đa giác có một cạnh dài $p-1$. (12 điểm)
Hai người đi bộ về phía nhau trên một đường thẳng với vận tốc không đổi nhưng khác nhau. Cùng một thời điểm,mỗi người thả chó chạy về phía trước. Hai chó có cùng tốc độ không đổi. Mỗi chó chạy tới người kia rồi quay về chủ mình. Chó của người đi nhanh hay người đi chậm gặp lại chủ trước? (3 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 23). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Petya chọn một số nguyên dương,nhân với 5,rồi tiếp tục nhân kết quả với 5 mãi. Có đúng rằng từ một lúc nào đó,mọi kết quả sau đó đều chứa chữ số 5 trong biểu diễn thập phân không? (4 điểm)
Có 11 đồng xu giống nhau bề ngoài,gồm 7 xu thật và 4 xu giả. Xu cùng loại nặng bằng nhau,xu giả nhẹ hơn xu thật. Cáo đưa Pinocchio 4 xu. Có thể dùng cân hai đĩa chỉ hai lượt để kiểm tra có phải cả bốn đều thật không? (5 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$,điểm $P$ trên đường chéo $AC$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $APD$, $M,N$ là trung điểm của $AD,CD$. Chứng minh $PN\perp MH$. (5 điểm)
Alice,Bob ở hai phòng khác nhau,mỗi người chia bảng $20\times21$ thành các tromino $1\times3$ hoặc $3\times1$. Sau đó so sánh;Alice trả Bob một đô-la cho mỗi tromino nằm đúng cùng các ô trong hai cách chia. Số đô-la lớn nhất Bob chắc chắn nhận được là bao nhiêu? (6 điểm)
Trong các số $n,2n,3n,\ldots,9n$, với $n$ nguyên dương, số lượng chữ số đầu tiên khác nhau nhỏ nhất có thể là bao nhiêu? (5 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 57). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 28), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Trên giấy trắng, vẽ hai trục tọa độ vuông góc $x,y$ có cùng tỷ lệ và đồ thị $y=f(x)$. Sau đó xóa các điểm đánh dấu trên trục $x$ và xóa trục $y$. Chỉ dùng bút chì, thước thẳng và compa, hãy dựng lại trục $y$ trong hai trường hợp: (a) $f(x)=3^x$; (b) $f(x)=\log_a x$, với hằng số chưa biết $a>1$. (4+4 điểm)
Hai tam giác chồng lên nhau như hình, tạo thành ngôi sao sáu cánh. Đường tròn nội tiếp sáu tam giác nhỏ phía ngoài có bán kính bằng nhau. Chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ban đầu có bán kính bằng nhau. (8 điểm)
Một quân xe đi trên bảng $n\times n$, mỗi bước sang ô chung cạnh, thăm mỗi ô đúng một lần. Bob điền các số 1 đến $n^2$ theo thứ tự thăm. Gọi $M$ là hiệu tuyệt đối lớn nhất giữa hai số ở hai ô chung cạnh. Giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ là bao nhiêu? (8 điểm)
Có 300 nhà thông thái và 25 màu mũ. Mỗi người đội một mũ, nhìn thấy mũ của mọi người khác nhưng không nhìn mũ mình. Họ biết số mũ thuộc 25 màu đôi một khác nhau. Mọi người phải đồng thời đoán màu mũ mình. Có thể thống nhất trước chiến thuật bảo đảm ít nhất 150 người đoán đúng không? (8 điểm)
Một tàu vũ trụ cách mặt phẳng ranh giới giữa hai nửa không gian khoảng $a>0$. Phi hành đoàn biết $a$ nhưng không biết hướng mặt phẳng. Tàu có thể đi theo bất kỳ đường nào trong không gian, ghi lại quãng đường đã đi và có cảm biến báo khi chạm mặt phẳng. Có thể bảo đảm chạm ranh giới với tổng quãng đường không quá (a) $14a$; (b) $13a$ không? (6+6 điểm)
Peter bắt đầu từ một số nguyên dương, nhân với 5, rồi tiếp tục nhân kết quả với 5, tổng cộng $k$ lần. Số ban đầu và mọi kết quả đều không chứa chữ số 7 trong biểu diễn thập phân. Chứng minh tồn tại số nguyên dương có thể liên tiếp nhân với 2 tổng cộng $k$ lần mà số ban đầu và mọi kết quả đều không chứa chữ số 7. (4 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 24). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
