ITOT 43 mùa Xuân 2022 - THCS bảng A - luyện tập cộng điểm

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi số nguyên tố $p$ thỏa mãn $2\lt p\lt n$, số $n-p$ cũng nguyên tố. (4 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 60). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 32), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Chứng minh trong mọi tứ giác lồi có thể đặt ba bản sao của chính nó, mỗi bản sao có mọi độ dài bằng một nửa ban đầu, sao cho chúng không chồng phần trong lên nhau. Có thể chung điểm biên. (7 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Trong các số $n,2n,3n,\ldots,9n$, với $n$ nguyên dương, số lượng chữ số đầu tiên khác nhau nhỏ nhất có thể là bao nhiêu? (7 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Một số ô của bảng $100\times100$ được tô đen. Mỗi hàng hoặc cột có ô đen đều chứa số lẻ ô đen. Các ô đen ở giữa của các hàng khác nhau thuộc các cột khác nhau; các ô đen ở giữa của các cột khác nhau thuộc các hàng khác nhau. (a) Chứng minh có một ô đồng thời ở giữa các ô đen của hàng và cột chứa nó. (5 điểm) (b) Có phải mọi ô đen ở giữa của một hàng đều ở giữa các ô đen của cột chứa nó không? (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Hai tam giác chồng lên nhau như hình, tạo thành ngôi sao sáu cánh. Đường tròn nội tiếp sáu tam giác nhỏ phía ngoài có bán kính bằng nhau. Chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ban đầu có bán kính bằng nhau. (10 điểm)

Có 21 huy chương:7 vàng,7 bạc,7 đồng. Đúng một huy chương bị lỗi. Huy chương vàng lỗi nhẹ hơn huy chương vàng chuẩn; huy chương đồng lỗi nặng hơn huy chương đồng chuẩn; huy chương bạc lỗi có thể nhẹ hoặc nặng hơn huy chương bạc chuẩn. Các huy chương chuẩn cùng kim loại nặng bằng nhau. Hãy tìm huy chương lỗi bằng ba lượt cân hai đĩa không có quả cân. (10 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Một đa giác lồi có thể lát bằng các hình vuông cạnh 1 và tam giác đều cạnh 1 theo đúng $p$ cách khác nhau, với $p$ nguyên tố. Chứng minh đa giác có một cạnh dài $p-1$. (12 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.