ITOT 44 mùa Xuân 2023 · THPT · A (Nâng cao)

Cho hai dãy chỉ gồm chữ $A,B$, mỗi dãy có100 chữ. Mỗi bước được chèn một số tùy ý chữ giống nhau vào một vị trí, hoặc bỏ một số tùy ý chữ giống nhau liên tiếp. Chứng minh có thể biến dãy này thành dãy kia sau nhiều nhất100 bước.

Tam giác $ABC$ có chu vi1. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc cạnh $BC$ và phần kéo dài của $AB,AC$ theo các tia $AB,AC$ tại $P,Q$. Đường thẳng qua trung điểm $AB,AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ tại $X,Y$. Tính $XY$.

Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc $n>5$ và $n$ nghiệm nguyên phân biệt. Chứng minh $P(x)+3$ có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Một đa giác đều 100 đỉnh được chia thành các hình bình hành và hai tam giác. Chứng minh hai tam giác này bằng nhau.

Cho số nguyên $h>1$. Một phân số dương, không nhất thiết tối giản, gọi là tốt nếu tử và mẫu dương có tổng bằng$h$. Gọi $h$ đáng chú ý nếu mọi phân số dương có mẫu nhỏ hơn$h$ đều biểu diễn được bằng các phân số tốt, không nhất thiết phân biệt, chỉ dùng phép cộng và trừ. Chứng minh $h$ đáng chú ý khi và chỉ khi là số nguyên tố.

Trung điểm mỗi đường cao của một tứ diện nằm trên mặt cầu nội tiếp của nó. Tứ diện có nhất thiết đều không?

Trên đảo có tắc kè hoa với năm màu. Khi một con cắn con khác, chỉ con bị cắn đổi màu theo quy tắc cố định chỉ phụ thuộc hai màu hiện tại. Biết2023 con ban đầu màu đỏ có cách lần lượt cắn nhau, mỗi lần một con cắn một con khác trong nhóm, để tất cả thành màu lam. Tìm$k$ nhỏ nhất bảo đảm rằng$k$ con ban đầu màu đỏ cũng có cách cắn nhau để tất cả thành màu lam theo cùng quy tắc.

Ví dụ quy tắc có thể là: con đỏ cắn con xanh lá thì con bị cắn thành lam; con xanh lá cắn con đỏ thì con bị cắn vẫn đỏ; con đỏ cắn con đỏ thì con bị cắn thành vàng. Những quy tắc khác cũng có thể xảy ra.