Có 2023 xúc xắc trên bàn. Với 1 đô la, chọn một viên và đặt bất kỳ mặt nào trong bốn mặt bên của nó lên trên. Cần ít nhất bao nhiêu đô la để chắc chắn luôn làm cho số trên tất cả 2023 mặt trên như nhau? Các mặt mang số 1 đến 6, hai mặt đối nhau có tổng bằng 7.
Xét $Q(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor x/2\rfloor+\cdots+\lfloor x/10^n\rfloor$, với $n$ nguyên không âm. Tính $Q(10^n)-Q(10^n-1)$. Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Cho $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N=BI\cap AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIN$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIN$ tại $D$. Chứng minh $AC\perp DI$.
Cho $a_1,a_2,\ldots$ và $b_1,b_2,\ldots$ là hai cấp số cộng dương tăng vô hạn. Biết $a_k/b_k$ là số nguyên với mọi $k$. Hỏi tỉ số ấy có phụ thuộc vào $k$ không?
Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong năm điểm cho trước lớn hơn2. Có buộc tồn tại một cặp có khoảng cách lớn hơn3 không, nếu năm điểm nằm (a) trong mặt phẳng; (b) trong không gian ba chiều?
