Số $2021=43\cdot47$ là một hợp số. Chứng minh rằng nếu điền một số lượng bất kì chữ số 8 vào giữa 20 và 21 thì số nhận được vẫn là một hợp số. (4 điểm)
Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.
Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 52). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 30), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.
Trong phòng có một số bạn nhỏ và một chiếc túi chứa 1000 viên kẹo. Các bạn lần lượt tới túi theo một thứ tự nào đó cho tới khi không còn ai trong phòng. Mỗi bạn lấy số kẹo hiện có chia cho số bạn còn trong phòng, làm tròn nếu kết quả không nguyên, lấy đúng số kẹo đã làm tròn rồi rời phòng. Các bạn nam luôn làm tròn lên, các bạn nữ luôn làm tròn xuống. Chứng minh tổng số kẹo các bạn nam nhận được không phụ thuộc thứ tự tới túi. (5 điểm)
Cho tam giác đều $ABC$. Lấy điểm $E$ nằm trên cạnh $AB$, điểm $F$ nằm trên cạnh $AC$ và điểm $K$ nằm trên đường thẳng $AB$ (ngoài cạnh $AB$) sao cho $AE=CF=BK$. Điểm $P$ là trung điểm đoạn $EF$. Chứng minh $\angle KPC$ là góc vuông. (6 điểm)
Một du khách thăm hòn đảo có 50 người bản địa đứng thành vòng tròn. Mỗi người nói hai số: số thứ nhất là tuổi người bên trái, số thứ hai là tuổi người bên phải. Mỗi người thuộc một trong hai kiểu: người nói thật đưa cả hai số chính xác; người nói dối giảm một số đi 1 và tăng số còn lại thêm 1. Sau khi nhận tất cả câu trả lời, có luôn xác định được từng người thuộc kiểu nào không? (7 điểm)
Ở giữa mỗi ô của lưới vuông $M$ có một bóng đèn nhỏ như một điểm, ban đầu đều tắt. Trong một lượt, chọn đường thẳng không đi qua bóng đèn nào sao cho ở một phía của đường thẳng tất cả bóng đèn đều tắt, rồi bật tất cả chúng. Mỗi lượt phải bật ít nhất một bóng. Nhiệm vụ là bật hết đèn với số lượt nhiều nhất. Tìm số lượt lớn nhất nếu:
Có đoàn 100 du khách tới khách sạn có các phòng đơn đánh số $1,2,\ldots,n$. Ngoài $k$ phòng đang sửa chữa mà họ không biết số, các phòng còn lại đều trống. Mỗi khách lần lượt kiểm tra phòng theo một thứ tự có thể khác nhau giữa các khách, rồi vào phòng đầu tiên không sửa chữa. Họ không biết phòng có người trước khi tự kiểm tra, nhưng kiểm tra phòng người khác đang nghỉ là điều cấm kị. Họ phải thống nhất chiến lược trước. Với mỗi $k$, tìm $n$ nhỏ nhất bảo đảm chọn phòng phù hợp. (10 điểm)
Cho $p,q$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Một con ếch nhảy trên trục số nguyên từ 0, mỗi bước sang phải $p$ đơn vị hoặc sang trái $q$ đơn vị. Sau một số lượt nhảy, ếch trở về vị trí ban đầu. Chứng minh với mọi số nguyên dương $d<p+q$, có hai vị trí ếch đã tới cách nhau đúng $d$. Xét hành trình có ít nhất một bước nhảy. (12 điểm)
