ITOT 45 mùa Xuân 2024 · THPT · O (Cơ bản)

Dãy số thực$a_1,a_2,\ldots$ thỏa$a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})/2$ với mọi$n\ge1$. Chứng minh các parabol$y=x^2+a_nx+a_{n+1}$ đều đi qua một điểm chung.

Một hình chữ nhật tùy ý chia thành bốn tam giác vuông như hình. Mỗi tam giác có một hình vuông nội tiếp với một cạnh nằm trên cạnh huyền. So sánh diện tích hình vuông lớn nhất với tổng diện tích ba hình vuông còn lại.

Khi Tom cắt một miếng bánh thành hai, hai miếng bằng trọng lượng. Nếu cắt thành nhiều hơn hai, trọng lượng các miếng đôi một khác nhau. Có đúng với mọi số nguyên$N\ge10$ đều có thể cắt thành đúng$N$ miếng bằng trọng lượng không? Không được ghép các miếng lại.

Có phải tổng các góc nhị diện ở phía trong giữa mặt đáy và ba mặt bên của hình chóp tam giác luôn nhỏ hơn tổng các góc nhị diện ngoài tương ứng không?

Có45 học sinh trong câu lạc bộ Toán, một số cặp là bạn. Với mọi cách chia thành15 nhóm ba người, luôn có ít nhất một nhóm mà cả ba đôi một là bạn. Chứng minh có cách chia thành15 nhóm ba sao cho mỗi nhóm chứa ít nhất một cặp bạn.