ITOT 45 mùa Xuân 2024 · THPT · A (Nâng cao)

Tìm tất cả cặp số nguyên dương$(m,n)$ sao cho$m!!=n!$. Ký hiệu$m!!$ là tích các số nguyên dương không vượt$m$ và cùng tính chẵn lẻ với$m$; ví dụ$5!!=15$, $6!!=48$.

Có hữu hạn hình tròn bán kính1 trong không gian, có thể giao nhau nhưng không hình nào chứa tâm hình khác. Tại mỗi tâm có đèn chiếu mọi hướng; ánh sáng xuyên qua các hình tròn. Có thể mọi tia từ mọi đèn đều gặp ít nhất một hình tròn khác không?

Mỗi ô bảng$N\times N$ chứa một số. Ô tốt nếu có một ô chung cạnh chứa số lớn hơn đúng1 và một ô chung cạnh khác chứa số lớn hơn đúng3. Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô tốt?

Hai đường tròn bằng nhau$\omega_1,\omega_2$ có tâm$O_1,O_2$. Lấy$X,Y$ trên đoạn$O_1O_2$ sao cho$O_1Y=O_2X$. Các điểm$A,B$ thuộc$\omega_1$, đường$AB$ qua$X$; các điểm$C,D$ thuộc$\omega_2$, đường$CD$ qua$Y$. Chứng minh có đường tròn tiếp xúc cả bốn đường$AO_1,BO_1,CO_2,DO_2$.

Giữ nguyên khẳng định nguồn. Cách phát biểu không hạn chế có phản ví dụ, được phân tích trong lời giải tự biên soạn thay vì âm thầm thêm giả thiết.

Đa thức bậc$n>0$ có mọi hệ số là số nguyên khác0, mỗi hệ số là một nghiệm của chính đa thức. Chứng minh mọi hệ số chỉ có thể là$1,-1,-2$.

Sáo Harry chỉ chơi hai nốt$B,C$. Trước khi bắt đầu, Voldemort cấm một giai điệu mỗi độ dài5,6,...,30. Nếu một đoạn liên tiếp vừa chơi trùng giai điệu cấm thì Harry thua. Harry có luôn chơi được300 nốt hợp lệ, bất kể các giai điệu bị cấm không?

Một sọc là đa giác ô lưới có thể đi qua mọi ô đúng một lần bằng các bước lên hoặc sang phải giữa hai ô chung cạnh. Các bản sao bằng nhau ghép liên tiếp bằng tịnh tiến véc-tơ$(-1,1)$. Chứng minh với mỗi sọc có số ô chẵn, tồn tại$k$ lẻ sao cho hợp$k$ bản sao liên tiếp cắt theo đường lưới thành hai phần bằng nhau. Hai phần được phép trùng nhau sau quay hoặc lật.