Có $N$ nhân viên thích bừa bộn trong văn phòng, mỗi người có một đống rác trên bàn. Tất cả nhân viên lần lượt rời văn phòng đi ăn trưa (mỗi người chỉ rời đi sau khi người liền trước trở về). Khi một nhân viên rời đi, tất cả người còn lại đặt một nửa số rác trên bàn mình lên bàn người đó. Liệu có thể xảy ra trường hợp sau khi tất cả đã ăn trưa trở về thì lượng rác ở bàn mỗi người vẫn như trước bữa trưa hay không, nếu (a) $N=2$; (b) $N=10$? Điểm gốc: (a) 1 điểm, (b) 3 điểm.
Có 2023 xúc xắc trên bàn. Với 1 đô la, ta có thể chọn một viên và đặt bất kỳ mặt nào trong bốn mặt bên của nó lên trên. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu đô la để chắc chắn luôn có cách làm cho số trên tất cả mặt trên của 2023 xúc xắc như nhau? Các mặt có số 1,2,3,4,5,6 và tổng hai mặt đối nhau luôn là 7.
Xét tổng $Q(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor x/2\rfloor+\lfloor x/3\rfloor+\cdots+\lfloor x/10000\rfloor$ với $x$ bất kỳ. Tính $Q(2023)-Q(2022)$. Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Cho bảng vuông $5\times5$, mỗi ô có một đồng xu nhìn như nhau. Hai đồng là giả và nặng bằng nhau. Các đồng thật nặng hơn đồng giả và cũng nặng bằng nhau. Các đồng giả ở những ô vuông chỉ có chung một đỉnh. Liệu có thể chắc chắn xác định được (a) 13 đồng thật; (b) 15 đồng thật; (c) 17 đồng thật trong một lần cân duy nhất trên cân thăng bằng không có quả cân? Điểm gốc: (a) 2 điểm, (b) 3 điểm, (c) 2 điểm.
