Ngân hàng câu hỏi ITOT 2020

Có tồn tại số nguyên dương chia hết cho 2020 mà mười chữ số 0,1,…,9 xuất hiện cùng số lần không? Câu in trong sách chỉ yêu cầu có các chữ số; điều kiện cùng số lần có trong đề chính thức và được nêu rõ ở đây.

Ba hiệp sĩ đánh rồng. Người thứ nhất chặt nửa số đầu hiện tại cộng 1; người thứ hai chặt một phần ba cộng 2; người thứ ba chặt một phần tư cộng 3. Mỗi lần phải chặt số nguyên đầu hiện có. Được chọn thứ tự tùy ý và lặp lại; nếu không ai đánh hợp lệ thì rồng thắng. Họ có thể chặt hết khi ban đầu có $41!$ đầu không?

Có thể nội tiếp đa giác $N$ cạnh trong đường tròn sao cho mọi cạnh có độ dài khác nhau và mọi góc trong là số nguyên độ, với (a) $N=19$; (b) $N=20$ không?

Với những số nguyên dương $N$ nào có thể điền số thực vào bảng $N\times N$ sao cho tổng của mọi cặp ô chung cạnh là đúng các số nguyên từ 1 đến $2N(N-1)$, mỗi số một lần? Xét rõ trường hợp bảng một ô.

Hình thang nội tiếp $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $AB=3 CD$. Hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại $A,C$ gặp nhau ở $K$. Chứng minh $\angle KDA=90^\circ$.

Alice chia bộ 36 lá, gồm 4 chất và 9 giá trị, thành 18 lá cho mình và 18 lá cho Bob. Mỗi lượt Alice đánh một lá còn lại, rồi Bob đánh một lá. Bob được 1 điểm nếu hai lá cùng chất hoặc cùng giá trị. Bob bảo đảm được bao nhiêu điểm với mọi cách chia ban đầu và mọi cách chơi của Alice? Đề chính thức ghi bài ngửa; sách ghi bài úp. Bài toán dự định dùng quy tắc ngửa của đề chính thức.

Gleb chọn số nguyên dương $a\lt N$, viết $a$. Liên tiếp chia $N$ cố định cho số dương viết cuối cùng và ghi số dư; dừng khi xuất hiện 0. Tổng mọi số đã viết có thể vượt $100N$ không? Đây là quy tắc đề chính thức. Sách đảo phép chia thành chia số cuối cho $N$; phiên bản sát chữ ấy được xét riêng dưới đây.

Xứ Quadrumland là lưới 6 nhân 6. Mỗi ô là một vương quốc độc lập hoặc lãnh thổ tranh chấp; có 27 vương quốc và 9 lãnh thổ tranh chấp. Một vương quốc đòi một ô tranh chấp khi có chung cạnh hoặc đỉnh với ô đó. Có thể cả chín ô tranh chấp có số vương quốc đòi chủ quyền đôi một khác nhau không?

Có thể viết nhiều nhất bao nhiêu số nguyên phân biệt thành một hàng để tổng của mỗi 11 số liên tiếp bằng 100 hoặc 101?

Cho hình thoi $ABCD$ và hình bình hành $APQC$ sao cho $B$ ở bên trong hình bình hành và $AP$ bằng cạnh hình thoi. Chứng minh $B$ là trực tâm tam giác $DPQ$.

Cho số nguyên $n$. Nếu $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=n$ có nghiệm nguyên, chứng minh $u^2+v^2-uv=n$ cũng có nghiệm nguyên. (Nguồn dùng lại tên $x,y$ cho phương trình thứ hai.)

Trên bàn cờ 8 nhân 8 có hai quân giống nhau tại a1 và c3. Alice và Bob luân phiên, Alice đi trước. Mỗi lượt chọn một quân, đưa sang phải hoặc lên trên một số ô dương tùy ý. Mỗi ô chỉ có tối đa một quân; các quân không được nhảy qua nhau. Ai đưa một quân tới h8 thì thắng. Ai có chiến thuật chắc thắng?

Gọi $U$ là miền đóng giữa $y=x^2$ và $y=x^2-1$. $U$ có chứa đoạn thẳng dài hơn $10^6$ không?

Alice chọn số nguyên dương $a,b,c$. Có đúng một bộ có thứ tự số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa $a=\operatorname{lcm}(x,y)$, $b=\operatorname{lcm}(x,z)$, $c=\operatorname{lcm}(y,z)$. Cô cho Bob biết bộ ấy tồn tại duy nhất và cho $a,b$. Chứng minh Bob xác định được $c$.

Một tứ diện có thể có hai thiết diện phẳng là hình vuông, một hình cạnh không quá 1, hình kia cạnh ít nhất 100 không?

Henry có 2 N khách phân biệt, N mũ trắng giống nhau và N mũ đen giống nhau. Anh phát hết mũ, xếp khách thành một hay nhiều vòng, mỗi vòng ít nhất hai người, hai người kề đội khác màu. Chứng minh có $(2N)!$ cách. Thứ tự vòng theo quy ước có hướng thông thường: quay vòng là một, không đồng nhất với đảo chiều.

Cho $ABCD$ nội tiếp. Hai đường tròn đường kính $AB,CD$ cắt nhau tại $X_1,Y_1$; các đường tròn đường kính $BC,AD$ tại $X_2,Y_2$; các đường tròn đường kính $AC,BD$ tại $X_3,Y_3$. Chứng minh ba đường $X_1Y_1,X_2Y_2,X_3Y_3$ có điểm chung. Mỗi cặp giao điểm nêu trong đề được hiểu là hai điểm phân biệt.

Trên bảng có 2 n số nguyên liên tiếp. Chia thành các cặp rồi đồng thời thay mỗi cặp bằng tổng và một trong hai hiệu có dấu. Chứng minh 2 n số thu được không thể lại là các số nguyên liên tiếp.

Lưới vuông vô hạn ban đầu trắng. Với số nguyên dương k nào có thể tô đen hữu hạn nhưng ít nhất một ô, sao cho mỗi hàng, cột và đường chéo theo cả hai hướng chứa đúng k ô đen hoặc không ô nào?

Có thể điền mỗi ô bảng 40 nhân 41 một số nguyên sao cho số ấy bằng số ô chung cạnh chứa cùng số với nó không?