Ngân hàng câu hỏi HOMC

Có bao nhiêu số có 10 chữ số chỉ được lập từ các chữ số 1, 2, 3, sao cho hai chữ số đứng cạnh nhau luôn hơn kém nhau 1?

Trên bàn có các số \(A=(672,673,674,\ldots,2016)\). Mỗi bước, chọn ba số bất kỳ \(a,b,c\) đang có trên bàn và thay chúng bằng \(\frac13\min(a,b,c)\). Sau 672 bước chỉ còn một số \(m\). Khẳng định nào đúng?

Hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5\). Giá trị lớn nhất của \(M=a^2+b^2-ab\) là bao nhiêu?

Trong một sở thú, một con khỉ trở nên may mắn nếu được ăn ba loại quả khác nhau. Với 20 quả cam, 30 quả chuối, 40 quả đào và 50 quả quýt, có thể làm cho nhiều nhất bao nhiêu con khỉ may mắn? Hãy giải thích.

Các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(3x^2+x=4y^2+y\). Trong các lựa chọn dưới đây, lựa chọn nào có thể là giá trị của \(x-y\)?

Tập \(A\) gồm 16 phần tử của \(\{1,2,3,\ldots,106\}\), sao cho hiệu của hai phần tử bất kỳ không bằng 6, 9, 12, 15, 18, 21. Chứng minh rằng có hai phần tử của \(A\) hơn kém nhau 3.

Chín điểm tạo thành một lưới \(3\times3\). Có bao nhiêu tam giác có cả ba đỉnh thuộc chín điểm này?

Tìm tất cả các số có ba chữ số bằng lập phương của tổng các chữ số của chính nó.

Các số hữu tỉ \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+b+c=a^2+b^2+c^2\in\mathbb Z\). Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên tố cùng nhau \(m,n\) sao cho \(abc=m^2/n^3\).

Các số tự nhiên \(a,b\) thỏa mãn \(2015a^2+a=2016b^2+b\). Chứng minh rằng \(\sqrt{a-b}\) là số tự nhiên.

Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), và \(\omega\) là đường tròn ngoại tiếp. Đường thẳng \(AI\) cắt lại \(\omega\) tại \(D\ne A\). Các điểm \(F,E\) lần lượt nằm trên cạnh \(BC\) và cung \(BDC\), sao cho \(\angle BAF=\angle CAE\lt \tfrac12\angle BAC\). Gọi \(X\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(EI\) với \(\omega\), và \(T\) là giao điểm của đoạn \(DX\) với đường thẳng \(AF\). Chứng minh \(TF\cdot AD=ID\cdot AT\).

Cho điểm \(A\) nằm trong góc nhọn \(xOy\). Một đường tròn \(\omega\) bất kỳ đi qua \(O,A\), cắt lại hai tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(B,C\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh rằng \(M\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(\omega\) thay đổi nhưng vẫn đi qua \(O,A\).

Tìm tất cả các bộ ba số thực \((a,b,c)\) sao cho \(|2a+b|\ge4\) và \(|ax^2+bx+c|\le1\) với mọi \(x\in[-1,1]\).

Cho \(f(x)=x^2+px+q\), trong đó \(p,q\) là các số nguyên. Chứng minh tồn tại số nguyên \(m\) sao cho \(f(m)=f(2015)f(2016)\).

Các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \(18ab+9ca+29bc=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T=42a^2+34b^2+43c^2\).

Viết 2013 thành tổng của \(m\) số nguyên tố. Giá trị nhỏ nhất của \(m\) là:

Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2+2014\) là số chính phương?

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \([(n+1)\alpha]-[n\alpha]\), với \(n\) là số tự nhiên và \(\alpha=\frac{\sqrt{2013}}{\sqrt{2014}}\), là: (Dấu ngoặc vuông ký hiệu phần nguyên.)

Cho \(A\) là số nguyên chẵn nhưng không chia hết cho 10. Hai chữ số tận cùng của \(A^{20}\) là:

Số nghiệm nguyên \(x\) của phương trình \((12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=330\) là: