Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2012 Khối 8

Giả sử \(a-b=-(a-b)\). Khi đó:

Cho hình bình hành \(ABCD\) có diện tích \(12\text{ cm}^2\). Đường thẳng qua \(A\) và trung điểm \(M\) của \(BC\) cắt \(BD\) tại \(N\). Tính diện tích tứ giác \(MNDC\).

Với mỗi số nguyên dương \(a\), kí hiệu \([a]\) là ước nguyên tố nhỏ nhất của \(a\). Số nào sau đây bằng \([35]\)?

Một người đi từ thị trấn \(A\) đến \(E\) qua \(B,C,D\), với vận tốc không đổi lần lượt là \(3,2,6,3\) km/h trên các đoạn đường bằng, lên dốc, xuống dốc và đường bằng. Nếu tuyến đường được phân loại thành đường bằng, lên dốc, xuống dốc và đường bằng, và tổng chiều dài của mỗi loại đường bằng nhau, vận tốc trung bình cả hành trình là bao nhiêu?

Có thể lập được bao nhiêu số nguyên chẵn khác nhau có bốn chữ số từ các phần tử của tập \(\{1,2,3,4,5\}\)?

Lúc 3 giờ sáng, nhiệt độ là \(13^\circ\) dưới 0. Đến 12 giờ trưa, nhiệt độ tăng lên \(32^\circ\). Mức tăng nhiệt độ trung bình mỗi giờ là bao nhiêu?

Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho \(60+2n-n^2\) là số chính phương.

Cho tam giác \(ABC\) và hai điểm \(K\in AB\), \(N\in BC\) thỏa mãn \(BK=2AK\), \(CN=2BN\). Gọi \(Q=AN\cap CK\). Tính \(\dfrac{[ABC]}{[BCQ]}\).

Tính phần nguyên của \(H=\sqrt{1+2011^2+\dfrac{2011^2}{2012^2}}+\dfrac{2011}{2012}\).

Giải phương trình \(\dfrac1{(x+29)^2}+\dfrac1{(x+30)^2}=\dfrac{13}{36}\).

Cho \(a_1=5,a_2=8\) và \(a_{n+1}=a_n+3a_{n-1}\), với \(n=2,3,\ldots\). Tính \(\gcd(a_{2011},a_{2012})\).

Tìm tất cả các số nguyên dương \(P\) sao cho tổng và tích của tất cả các ước dương của nó lần lượt bằng \(2P\) và \(P^2\).

Tìm giá trị lớn nhất của \(M=11xy+3xz+2012yz\), với \(x,y,z\) là các số nguyên không âm thỏa mãn \(x+y+z=1000\).

Trong tam giác \(ABC\), \(\angle A=90^\circ\); các đường phân giác góc \(B,C\) cắt nhau tại \(I\). Cho \(IH\perp BC\), với \(H\in BC\). Biết \(HB=5\text{ cm}\), \(HC=8\text{ cm}\), tính diện tích tam giác \(ABC\).

Tìm giá trị lớn nhất của \(M=xy+yz+zx\), với các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(x^2+2y^2+5z^2=22\).