Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2011 Khối 10

Một số nguyên được gọi là “octal” nếu nó chia hết cho 8 hoặc có ít nhất một chữ số bằng 8. Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 100 là octal?

Số nào sau đây nhỏ nhất?

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn \(\sqrt[3]{2011^3+3\cdot2011^2+4\cdot2011+5}\) là bao nhiêu?

Chứng minh \(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2011}\ge0\) với mọi \(x\ge-1\).

Cho các số nguyên dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+2b+3c=100\). Tìm giá trị lớn nhất của \(M=abc\).

Tìm tất cả các cặp số thực \((x,y)\) thỏa mãn \(x+y=2\) và \(x^4-y^4=5x-3y\).

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\lt 100\) sao cho \(4a^2+3a+5\) chia hết cho 6?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=|x+1|+|x+5|+|x+14|+|x+97|+|x+1920|\).

Với mỗi cặp số nguyên dương \((x,y)\), định nghĩa \(f(x,y)\) bởi
\[f(x,1)=x,\qquad f(x,y)=0\quad\text{khi }y\gt x,\]
\[f(x+1,y)=y[f(x,y)+f(x,y-1)].\]
Tính \(f(5,5)\).

Quy ước biên của biên tập: dùng công thức truy hồi với \(y\ge2\); công thức đầu cho các giá trị biên \(y=1\). Nguồn không ghi rõ hạn chế này của công thức truy hồi.

Hai đường phân giác \(BD\), \(CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(O\). Giả sử \(BD\cdot CE=2BO\cdot OC\). Gọi \(H\) là điểm trên \(BC\) sao cho \(OH\perp BC\). Chứng minh \(AB\cdot AC=2HB\cdot HC\).

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=c\), \(AC=b\). Lấy \(P\in AC\), \(Q\in AB\) sao cho \(\angle APQ=\angle ABC\) và \(\angle AQP=\angle ACB\). Tính \(PQ+PE+QF\), trong đó \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P,Q\) trên \(BC\).

Giả sử \(|ax^2+bx+c|\ge|x^2-1|\) với mọi số thực \(x\). Chứng minh \(|b^2-4ac|\ge4\).